Questão 1: Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1 ponto) Toda matriz simétrica é ortogonal.
b) (1 ponto) Existem só dois tipos de cônicas diferentes no plano.
c) (1 ponto) Toda matriz é diagonalizável.
d) (1 ponto) As rotações não são mudanças de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede para cada afirmação identificar se é verdadeira ou falsa, usando definições e, quando for o caso, contraexemplos. Vamos precisar dos seguintes conceitos:
  • Matriz simétrica versus matriz ortogonal.
  • Classificação de cônicas pelo discriminante B^2-4AC.
  • Critério de diagonalização de uma matriz (existência de base de autovetores).
  • Interpretação de rotações como mudança de base (mudança de coordenadas).

Passo 2

Para (a): Uma matriz A é simétrica se satisfaz \,A^T=A, e é ortogonal se \,A^T A=I. Nem toda simétrica cumpre \,A^T A=I. Por exemplo,
A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}
é simétrica, mas
A^T A =\begin{pmatrix}4&0\\\ 0&9\end{pmatrix}\neq I.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Para (b): No plano, as cônicas não se reduzem a apenas dois tipos. Pelo discriminante \,B^2-4AC da equação geral Ax^2+Bxy+Cy^2+\dots=0 existem três casos principais: \,B^2-4AC<0 dá elipse (ou círculo), \,B^2-4AC=0 dá parábola, \,B^2-4AC>0 dá hipérbole.
Há ainda casos degenerados (par de retas, ponto). Logo há mais de dois tipos de cônicas, e a afirmação é falsa.

Passo 4

Para (c): Uma matriz é diagonalizável exatamente quando possui n autovetores linearmente independentes. Nem toda matriz satisfaz isso. Por exemplo, a matriz de Jordan
J=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}
tem único autovalor \,1 mas só um autovetor independente. Logo não é diagonalizável, e a afirmação é falsa.

Passo 5

Para (d): Uma rotação no plano é uma transformação linear que leva vetores de um sistema de eixos para outro sistema de eixos girado. Essa mudança de eixos é exatamente uma mudança de coordenadas (uma mudança de base ortonormal). Logo dizer que “rotações não são mudanças de coordenadas” é incorreto, e a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso

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