Questão 1: Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1 ponto) Toda matriz simétrica é ortogonal.
b) (1 ponto) Existem só dois tipos de cônicas diferentes no plano.
c) (1 ponto) Toda matriz é diagonalizável.
d) (1 ponto) As rotações não são mudanças de coordenadas.
a) (1 ponto) Toda matriz simétrica é ortogonal.
b) (1 ponto) Existem só dois tipos de cônicas diferentes no plano.
c) (1 ponto) Toda matriz é diagonalizável.
d) (1 ponto) As rotações não são mudanças de coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede para cada afirmação identificar se é verdadeira ou falsa, usando definições e, quando for o caso, contraexemplos. Vamos precisar dos seguintes conceitos:
- Matriz simétrica versus matriz ortogonal.
- Classificação de cônicas pelo discriminante
. - Critério de diagonalização de uma matriz (existência de base de autovetores).
- Interpretação de rotações como mudança de base (mudança de coordenadas).
Passo 2
Para (a): Uma matriz
é simétrica se satisfaz
, e é ortogonal se
. Nem toda simétrica cumpre
. Por exemplo,
é simétrica, mas
Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Para (b): No plano, as cônicas não se reduzem a apenas dois tipos. Pelo discriminante
da equação geral
existem três casos principais:
dá elipse (ou círculo),
dá parábola,
dá hipérbole.
Há ainda casos degenerados (par de retas, ponto). Logo há mais de dois tipos de cônicas, e a afirmação é falsa.
Há ainda casos degenerados (par de retas, ponto). Logo há mais de dois tipos de cônicas, e a afirmação é falsa.
Passo 4
Para (c): Uma matriz é diagonalizável exatamente quando possui
autovetores linearmente independentes. Nem toda matriz satisfaz isso. Por exemplo, a matriz de Jordan
tem único autovalor
mas só um autovetor independente. Logo não é diagonalizável, e a afirmação é falsa.
Passo 5
Para (d): Uma rotação no plano é uma transformação linear que leva vetores de um sistema de eixos para outro sistema de eixos girado. Essa mudança de eixos é exatamente uma mudança de coordenadas (uma mudança de base ortonormal). Logo dizer que “rotações não são mudanças de coordenadas” é incorreto, e a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso