As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(a) \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\ x & 4\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\ x & 4\end{pmatrix}
e pede que o sistema A\,\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} tenha exatamente uma solução para qualquer (b_1,b_2). Isso só ocorre se e somente se A for invertível.

Passo 2

Para que A seja invertível é necessário e suficiente que o determinante seja não nulo. Calculamos
\det A = 1\cdot 4 \;-\;2\cdot x \;=\;4 - 2x.
Logo, a condição de invertibilidade é
4 - 2x \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \neq 2.

Resposta

Qualquer escolha de x diferente de 2 garante solução única para todo (b_1,b_2). Em outras palavras,
x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}.

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