Determine para quais valores de k o sistema
l x+2 y=3 2 x+k y=2
b) possível e indeterminado;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas
Queremos saber para quais valores de (k] esse sistema é possível e indeterminado (isto é, tem infinitas soluções).

Passo 2

Um sistema de duas equações e duas incógnitas é indeterminado se, e somente se,
  1. O determinante da matriz dos coeficientes é zero (para não ter solução única),
  2. E o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz ampliada (para haver soluções).

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes A e calculando seu determinante:
A = 1 & 2 2 & k , det(A) = 1cdot k - 2cdot 2 = k - 4
Para termos infinitas soluções, precisamos de det(A)=0, logo
k - 4 = 0 Longrightarrow k = 4

Passo 4

Com
Note que a segunda equação deveria ser múltiplo da primeira se fosse indeterminado. A primeira vezes 2 dá
mas a segunda diz , o sistema fica inconsistente nesse caso.

Passo 5

Como o único candidato a anular o determinante ( k=4) torna o sistema impossível, concluímos que não existe valor de k que torne o sistema possível e indeterminado.

Resposta

Não há valor de k que torne o sistema possível e indeterminado.

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