A equação x^4-3 x^2+p x+q=0 ( p e q coeficientes reais) tem duas raízes complexas não reais cuja soma é - 6 e cujo produto é 25 . As raízes reais desse polinômio são tais que uma é o dobro da outra.
a) Obtenha as quatro raízes da equação.
b) Determine p e q.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio x^4 - 3x^2 + p x + q = 0 com coeficientes reais, e diz que ele tem duas raízes complexas não reais cuja soma é -6 e cujo produto é 25. As outras duas raízes são reais e uma vale o dobro da outra. Para resolver a gente vai usar a propriedade de raízes complexas conjugadas (já que os coeficientes são reais), fórmulas de Viète (soma de raízes, soma de produtos dois a dois, produtos triplos e produto total), e relations entre as raízes reais.

Passo 2

Como as duas raízes complexas são não reais e aparecem em conjugado, se chamarmos uma delas de alpha então a outra é alpha. A soma alpha + alpha = 2Re(alpha) = -6 Re(alpha) = -3. O produto alphaalpha = |alpha|^2 = 25 implica |alpha| = 5. Daí a parte imaginária satisfaz (-3)^2 + b^2 = 25, então b = pm4. Logo as raízes complexas são -3 + 4i e -3 - 4i.

Passo 3

Seja r uma raiz real e 2r a outra. A soma total das raízes, pela forma padrão x^4 - S1 x^3 + S2 x^2 - S3 x + S4, deve ser zero (coeficiente de x^3 é zero). Então
(-3+4i)+(-3-4i)+r+2r = 0 implies -6 +3r = 0 implies r = 2

Passo 4

Portanto as raízes reais são 2 e 4.

Passo 5

Agora usamos Viète para achar p e q. Em polinômio monico:
S3 = sumi
e
S4 = prodi=1^4 xi = q

Passo 6

Calculando S3 pelos quatro raízes 2,4,-3+4i,-3-4i:
S3 = 2cdot4cdot(alpha+alpha) + 2cdotalphaalpha + 4cdotalphaalpha = 8(-6) + 2cdot25 + 4cdot25 = -48 +50 +100 = 102

Passo 7

Logo -p = 102 p = -102. O produto total
S4 = 2cdot4cdot(alphaalpha) = 8cdot25 = 200,

Passo 8

logo q = 200.

Resposta

As raízes são 2,;4,;-3+4i,;-3-4i, e os coeficientes são p = -102 e q = 200.

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