A equação ( p e coeficientes reais) tem duas raízes complexas não reais cuja soma é - 6 e cujo produto é 25 . As raízes reais desse polinômio são tais que uma é o dobro da outra.
a) Obtenha as quatro raízes da equação.
b) Determine e .
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio com coeficientes reais, e diz que ele tem duas raízes complexas não reais cuja soma é e cujo produto é . As outras duas raízes são reais e uma vale o dobro da outra. Para resolver a gente vai usar a propriedade de raízes complexas conjugadas (já que os coeficientes são reais), fórmulas de Viète (soma de raízes, soma de produtos dois a dois, produtos triplos e produto total), e relations entre as raízes reais.
Passo 2
Como as duas raízes complexas são não reais e aparecem em conjugado, se chamarmos uma delas de então a outra é . A soma alpha + alpha = 2Re(alpha) = -6 dá Re(alpha) = -3. O produto alphaalpha = |alpha|^2 = 25 implica |alpha| = 5. Daí a parte imaginária satisfaz (-3)^2 + b^2 = 25, então b = pm4. Logo as raízes complexas são -3 + 4i e -3 - 4i.
Passo 3
Seja r uma raiz real e 2r a outra. A soma total das raízes, pela forma padrão x^4 - S1 x^3 + S2 x^2 - S3 x + S4, deve ser zero (coeficiente de x^3 é zero). Então