Determine os valores de m e q de modo que a equação x^2+q y^2+2 m x=1 represente:
duas retas

Passo 1

O enunciado pede os valores de m e q para que a curva de segundo grau
x^2 + q,y^2 + 2,m,x = 1
se transforme em duas retas (ou seja, seja um caso degenerado de conica). Para resolver, vamos usar a condição de degenerescência de uma conica genérica
A,x^2 + B,x,y + C,y^2 + D,x + E,y + F = 0
que se decompõe em duas retas exatamente quando o determinante
A & B/2 & D/2 B/2 & C & E/2 D/2 & E/2 & F =0

Passo 2

Identificamos os coeficientes na cônica dada
x^2 + q,y^2 + 2,m,x - 1 = 0
como
A = 1, B = 0, C = q, D = 2m, E = 0, F = -1
Substituindo no determinante de degenerescência, temos
1 & 0 & m [6pt] 0 & q & 0 [6pt] m & 0 & -1 =0
]

Passo 3

Calculamos o determinante:
1 & 0 & m 0 & q & 0 m & 0 & -1 =1cdot(qcdot(-1)-0) ;-;0cdot(0cdot(-1)-mcdot0);+;mcdot(0- q,m) =-,q ;-;q,m^2 =-,q,(1+m^2)
Para esse determinante ser zero, é necessário e suficiente que
-q,(1 + m^2)=0 Longrightarrow q=0,
pois 1+m^2>0 para todo minR.

Passo 4

Com q=0, a equação vira
x^2 + 2,m,x -1 = 0,
que sempre fatora em
(x - x1)(x - x2)=0,
onde
x1,2 = -m pm raizm^2+1
Isso representa exatamente duas retas verticais x = x1 e x = x2, distintas para qualquer m.

Resposta

q=0 e m pode ser qualquer número real.

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