Seja l a reta de equação x=2 e considere o ponto F(-1,0). Identifique o lugar geométrico dos pontos P(x, y) tais que |F P|=e dist(P ; l), sendo:
e=2.

Passo 1

O enunciado dá a reta diretriz lcolon x=2 e o foco F(-1,0), e pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que satisfazem a definição de cônica com excentricidade e=2:
|FP| ;=; e;dist(P,l)
O conteúdo usado será a definição de cônica por foco, diretriz e excentricidade.

Passo 2

Vamos escrever a condição em termos de x,y. Como dist(P,l)=|x-2|, temos
raiz(x+1)^2 + y^2 ;=; 2,|x-2|
Elevando ao quadrado:
(x+1)^2 + y^2 ;=; 4,(x-2)^2

Passo 3

Expandindo e reorganizando em forma geral:
x^2 +2x +1 + y^2 = 4x^2 -16x +16 Longrightarrow y^2 -3x^2 +18x -15 = 0

Passo 4

Para reconhecer a cônica, completamos o quadrado em x:
y^2 -3l[(x-3)^2 -9r] -15 =0 ;Longrightarrow; 3(x-3)^2 - y^2 = 12 ;Longrightarrow; (x-3)^24 - y^212 = 1
Isso mostra que o lugar é uma hipérbole de centro (3,0), semi-eixo transverso a=2, semi-eixo conjugado b=2raiz3, excentricidade c/a=2. Os focos são (-1,0) e (7,0) e os vértices em (1,0) e (5,0).

Resposta

O lugar geométrico é a hipérbole com foco em (-1,0), diretriz x=2 e excentricidade 2, cuja equação reduzida é
(x-3)^24 - y^212 = 1

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