Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Vértice V(4,-1), eixo focal r: y=-1 e passa no ponto P(3,-3);

Passo 1

O enunciado dá uma parábola de vértice V(4,-1), com eixo focal dado pela reta rcolon y=-1 (logo eixo horizontal) e que passa pelo ponto P(3,-3). O conteúdo é a equação de parábola com eixo horizontal na forma padrão e o cálculo de seus elementos principais (foco, diretriz, excentricidade).

Passo 2

Para uma parábola de vértice (h,k) e eixo horizontal (reta y=k), a forma padrão é
(y-k)^2 = 4p,(x-h),
onde p é a distância algébrica do vértice ao foco (positiva se abrir para a direita, negativa se abrir para a esquerda).

Passo 3

Aqui (h,k)=(4,-1), então
(y+1)^2 = 4p,(x-4)
Como a parábola passa por P(3,-3), substituímos e resolvemos para p:
(-3+1)^2 = 4p,(3-4) Longrightarrow 4 = 4pcdot(-1) Longrightarrow p = -1

Passo 4

Como p=-1, a parábola abre para a esquerda e sua equação fica
(y+1)^2 = -4,(x-4)

Passo 5

  • Vértice: ;V(4,-1) (já dado).
  • Foco: ;Fl(h+p,;kr) = (4-1,,-1) = (3,-1)
  • Diretriz: reta vertical x = h - p = 4 - (-1) = 5
  • Excentricidade: ;e=1 (toda parábola tem e=1).
  • Eixo focal: reta y=-1 (dada).

Passo 6

Esboço rápido do gráfico:
– Desenhe a reta y=-1 como eixo.
– Marque V(4,-1) e F(3,-1).
– A parábola abre para a esquerda, cruzando o ponto P(3,-3).
– A diretriz é a reta vertical x=5.

Resposta

Equação:
(y+1)^2 = -4,(x-4)
Vértice: V(4,-1).
Foco: F(3,-1).
Diretriz: x=5.
Eixo focal: y=-1.
Excentricidade: e=1.

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