Determine os valores de x \in \mathbb{R} para os quais a função f(x)=2 x+\left|x^{2}-2\right| é derivável. Determine a derivada nesses pontos.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = 2x + \bigl|x^2 - 2\bigr|
e pede (i) os pontos de \mathbb{R} onde f é derivável e (ii) a fórmula de f'(x) nesses pontos. O conteúdo envolvido é o estudo de valor absoluto como função a pedaços e análise de derivabilidade nos pontos de quebra.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como função a pedaços, observando a expressão dentro do valor absoluto:
x^2 - 2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge\sqrt{2},
x^2 - 2 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\sqrt{2}.
Logo:
1. Se |x|\ge\sqrt{2}, então \lvert x^2-2\rvert = x^2-2, e
f(x) = 2x + (x^2-2) = x^2 + 2x - 2.
2. Se |x|<\sqrt{2}, então \lvert x^2-2\rvert = -(x^2-2), e
f(x) = 2x - (x^2-2) = -x^2 + 2x + 2.

Passo 3

Calculamos a derivada em cada ramo onde a expressão é uma função polinomial.
1. Para |x|>\sqrt{2},
f(x) = x^2 + 2x - 2 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 2x + 2.
2. Para |x|<\sqrt{2},
f(x) = -x^2 + 2x + 2 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = -2x + 2.

Passo 4

Verificamos agora a derivabilidade em x = \pm\sqrt{2}. Devemos comparar a derivada lateral à esquerda e à direita.
  1. Em x = \sqrt{2}:
  • Derivada pela esquerda |x|<\sqrt{2}:
f'_{-}(\sqrt{2}) = -2(\sqrt{2}) + 2 = 2 - 2\sqrt{2}.
  • Derivada pela direita |x|>\sqrt{2}:
f'_{+}(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2}) + 2 = 2 + 2\sqrt{2}.
Como 2 - 2\sqrt{2} \neq 2 + 2\sqrt{2}, não há derivada em x=\sqrt{2}.
  1. Em x = -\sqrt{2}:
  • Derivada pela esquerda |x|>\sqrt{2}:
f'_{-}(-\sqrt{2}) = 2(-\sqrt{2}) + 2 = 2 - 2\sqrt{2}.
  • Derivada pela direita |x|<\sqrt{2}:
f'_{+}(-\sqrt{2}) = -2(-\sqrt{2}) + 2 = 2 + 2\sqrt{2}.
Como 2 - 2\sqrt{2} \neq 2 + 2\sqrt{2}, não há derivada em x=-\sqrt{2}.

Resposta

A função f é derivável em todos os x\in\mathbb{R} com x\neq \pm\sqrt{2}. A derivada é
f'(x) = \begin{cases} 2x + 2, & \text{se }|x|>\sqrt{2},\\[6pt] -2x + 2, & \text{se }|x|<\sqrt{2}. \end{cases}]

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