Questão 3. a) ( 1 pt ) Defina solução geral para uma EDO de 2^{\circ} ordem não-homogênea.
b) (1 pt) Determine a solução geral para a seguinte EDO homogênea:
x^{\prime \prime}(t)-12 x^{\prime}(t)+36 x(t)=0 .
c) (1 pt) Determine a solução geral para a seguinte EDO não-homogênea:
x^{\prime \prime}(t)-12 x^{\prime}(t)+36 x(t)=100 \operatorname{sen}(2 t) .

Passo 1

O enunciado tem três itens sobre EDOs lineares de segunda ordem. No item (a) pede a definição de solução geral para uma EDO não-homogênea de segunda ordem; no item (b) precisamos resolver a EDO homogênea
x''(t)-12x'(t)+36x(t)=0
e no item (c) resolver a EDO não-homogênea
x''(t)-12x'(t)+36x(t)=100\,\operatorname{sen}(2t).
Vamos usar a teoria de equação linear de coeficientes constantes, que diz que a solução geral de uma EDO não-homogênea é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

(a) Para uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea
x''(t)+p\,x'(t)+q\,x(t)=g(t),
a solução geral é dada por
x(t)=x_h(t)+x_p(t),
onde x_h(t) satisfaz a EDO homogênea associada x''+p\,x'+q\,x=0 e x_p(t) é uma solução particular qualquer da EDO completa.

Passo 3

(b) Na EDO homogênea
x''-12x'+36x=0
escrevemos a equação característica
r^2 -12r +36 = 0.
Resolvendo, obtemos raiz dupla r=6. Logo a solução complementar é
x_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{6t},
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Passo 4

(c) Para a não-homogênea
x''-12x'+36x = 100\,\operatorname{sen}(2t),
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Supomos uma solução particular na forma
x_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).
Calculando derivadas:
x_p' = -2A\sin(2t) +2B\cos(2t), \quad x_p'' = -4A\cos(2t) -4B\sin(2t).
Substituindo na EDO:
(-4A\cos -4B\sin) -12(-2A\sin+2B\cos) +36(A\cos+B\sin) =100\sin(2t).
Agrupando termo a termo em \cos(2t) e \sin(2t) dá o sistema
\begin{cases} 32A -24B = 0,\\\\ 24A +32B = 100. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo
32A = 24B \implies A = \tfrac{3}{4}B,
e
24\bigl(\tfrac{3}{4}B\bigr)+32B =100 \implies 18B+32B=100 \implies 50B=100 \implies B=2,
logo A=\tfrac{3}{2}. Assim
x_p(t) = \tfrac{3}{2}\cos(2t) +2\sin(2t).
A solução geral da EDO não-homogênea é
x(t)=x_h(t)+x_p(t) =\bigl(C_1+C_2t\bigr)e^{6t} +\tfrac{3}{2}\cos(2t)+2\sin(2t).

Resposta

a) A solução geral de uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea
x''+p\,x'+q\,x=g(t)
é
x(t)=x_h(t)+x_p(t),
onde x_h resolve a homogênea e x_p é uma particular.
b)
x(t)=\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{6t}.
c)
x(t)=\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{6t} +\tfrac{3}{2}\cos(2t)+2\sin(2t).

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