Questão 3. a) ( 1 pt ) Defina solução geral para uma EDO de 2^{\circ} ordem não-homogênea.
b) (1 pt) Determine a solução geral para a seguinte EDO homogênea:
x^{\prime \prime}(t)-12 x^{\prime}(t)+36 x(t)=0 .
c) (1 pt) Determine a solução geral para a seguinte EDO não-homogênea:
O enunciado tem três itens sobre EDOs lineares de segunda ordem. No item (a) pede a definição de solução geral para uma EDO não-homogênea de segunda ordem; no item (b) precisamos resolver a EDO homogênea
Vamos usar a teoria de equação linear de coeficientes constantes, que diz que a solução geral de uma EDO não-homogênea é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
(a) Para uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea
x''(t)+p\,x'(t)+q\,x(t)=g(t),
a solução geral é dada por
x(t)=x_h(t)+x_p(t),
onde x_h(t) satisfaz a EDO homogênea associada x''+p\,x'+q\,x=0 e x_p(t) é uma solução particular qualquer da EDO completa.
Passo 3
(b) Na EDO homogênea
x''-12x'+36x=0
escrevemos a equação característica
r^2 -12r +36 = 0.
Resolvendo, obtemos raiz dupla r=6. Logo a solução complementar é
x_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{6t},
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.
Passo 4
(c) Para a não-homogênea
x''-12x'+36x = 100\,\operatorname{sen}(2t),
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Supomos uma solução particular na forma