Questão 4. Considere a EDO
a) (1pt) Motre que
é uma solução para a EDO homogênea associada à (1).
b) (1pt) Determine
solução da equação homogênea associada à (1) que seja li com
.
c) ( 1 pt ) Determine a solução geral de (1).
b) (1pt) Determine
c) ( 1 pt ) Determine a solução geral de (1).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Primeiro vamos resolver a homogênea
para obter soluções fundamentais
e
. Depois aplicaremos variação de parâmetros para achar uma particular.
Passo 2
Verificamos que
resolve a homogênea. De fato,
então
Logo
é solução da homogênea.
Passo 3
Para achar
usamos redução de ordem. Como
, temos
A fórmula dá
Verifica-se que
é independente de
.
Passo 4
A solução geral da homogênea é
Passo 5
Aplicamos variação de parâmetros para achar
. Com
e
, as fórmulas dão
Substituindo,
Integramos:
Logo
(termos homogêneos absorvíveis foram descartados).
Passo 6
A solução geral da equação original é