Questão 4. Considere a EDO
x^{\prime \prime}(t)-\frac{2}{t} x^{\prime}(t)+\frac{2}{t^{2}} x(t)=t^{2}+2 .
a) (1pt) Motre que \varphi_{1}(t)=t é uma solução para a EDO homogênea associada à (1).
b) (1pt) Determine \varphi_{2} solução da equação homogênea associada à (1) que seja li com \varphi_{1}.
c) ( 1 pt ) Determine a solução geral de (1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
x''(t)-\frac{2}{t}\,x'(t)+\frac{2}{t^{2}}\,x(t)=t^{2}+2.
O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Primeiro vamos resolver a homogênea
x''-\frac{2}{t}\,x'+\frac{2}{t^{2}}\,x=0
para obter soluções fundamentais \varphi_{1} e \varphi_{2}. Depois aplicaremos variação de parâmetros para achar uma particular.

Passo 2

Verificamos que \varphi_{1}(t)=t resolve a homogênea. De fato,
\varphi_{1}'(t)=1,\quad \varphi_{1}''(t)=0,
então
\varphi_{1}''-\frac{2}{t}\,\varphi_{1}'+\frac{2}{t^{2}}\,\varphi_{1} =0-\frac{2}{t}\cdot1+\frac{2}{t^{2}}\cdot t =-\frac{2}{t}+\frac{2}{t}=0.
Logo \varphi_{1}(t)=t é solução da homogênea.

Passo 3

Para achar \varphi_{2} usamos redução de ordem. Como p(t)=-2/t, temos
e^{-\int p(t)\,dt} =e^{-\int(-2/t)\,dt} =e^{2\ln t} =t^{2}.
A fórmula dá
\varphi_{2}(t) =\varphi_{1}(t)\int\frac{e^{-\int p\,dt}}{\varphi_{1}(t)^{2}}\,dt =t\int\frac{t^{2}}{t^{2}}\,dt =t\int1\,dt =t^{2}.
Verifica-se que \varphi_{2}(t)=t^{2} é independente de \varphi_{1}.

Passo 4

A solução geral da homogênea é
x_{h}(t) =C_{1}\,\varphi_{1}(t)+C_{2}\,\varphi_{2}(t) =C_{1}\,t+C_{2}\,t^{2}.

Passo 5

Aplicamos variação de parâmetros para achar x_{p}. Com
W(t)= \begin{vmatrix} t & t^{2}\\\\ 1 & 2t \end{vmatrix} =t\cdot2t - t^{2}\cdot1 =t^{2},
e r(t)=t^{2}+2, as fórmulas dão
x_{p}(t) =-\varphi_{1}(t)\int\frac{\varphi_{2}(t)\,r(t)}{W(t)}\,dt +\varphi_{2}(t)\int\frac{\varphi_{1}(t)\,r(t)}{W(t)}\,dt.
Substituindo,
x_{p}(t) =-t\int\frac{t^{2}(t^{2}+2)}{t^{2}}\,dt +t^{2}\int\frac{t\,(t^{2}+2)}{t^{2}}\,dt =-t\int(t^{2}+2)\,dt +t^{2}\int\Bigl(t+\frac{2}{t}\Bigr)\,dt.
Integramos:
\int(t^{2}+2)\,dt =\frac{t^{3}}{3}+2t, \quad \int\Bigl(t+\frac{2}{t}\Bigr)\,dt =\frac{t^{2}}{2}+2\ln t.
Logo
x_{p}(t) =-t\Bigl(\frac{t^{3}}{3}+2t\Bigr) +t^{2}\Bigl(\frac{t^{2}}{2}+2\ln t\Bigr) =\frac{t^{4}}{6}+2\,t^{2}\ln t
(termos homogêneos absorvíveis foram descartados).

Passo 6

A solução geral da equação original é
x(t) =x_{h}(t)+x_{p}(t) =C_{1}\,t+C_{2}\,t^{2}+\frac{t^{4}}{6}+2\,t^{2}\ln t.

Resposta

\displaystyle x(t)=C_{1}\,t+C_{2}\,t^{2}+\frac{t^{4}}{6}+2\,t^{2}\ln t.

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