Determine os valores de x \in \mathbb{R} que satisfaçam
\frac{x-1}{x^{2}+4}<\frac{x+1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que
\frac{x-1}{x^{2}+4} < \frac{x+1}{x^{2}-4}.
O conteúdo envolvido é resolução de inequações racionais: vamos levar tudo para o mesmo lado, obter uma única fração e estudar o sinal dessa fração, lembrando que o domínio exige x^{2}-4\neq0, ou seja, x\neq\pm2.

Passo 2

Subtraímos o segundo termo do primeiro e escrevemos a desigualdade como
\frac{x-1}{x^{2}+4} - \frac{x+1}{x^{2}-4} < 0.
Em seguida, colocamos na forma de uma única fração com denominador comum (x^{2}+4)(x^{2}-4):
\frac{(x-1)(x^{2}-4) - (x+1)(x^{2}+4)}{(x^{2}+4)(x^{2}-4)} < 0.

Passo 3

Calculamos o numerador separadamente:
(x-1)(x^{2}-4) = x^{3} - x^{2} -4x +4, \quad (x+1)(x^{2}+4) = x^{3} + x^{2} +4x +4.
Logo,
\text{Numerador }N = \bigl(x^{3} - x^{2} -4x +4\bigr) - \bigl(x^{3} + x^{2} +4x +4\bigr) = -2x^{2} -8x = -2x(x+4).
O denominador é
D = (x^{2}+4)(x^{2}-4) = (x^{2}+4)(x-2)(x+2).

Passo 4

A inequação fica
\frac{-2x(x+4)}{(x^{2}+4)(x-2)(x+2)} < 0.
Como x^{2}+4>0 para todo x, podemos ignorá-lo no estudo de sinal. O fator -2 é negativo, então ao multiplicar ambos os lados da desigualdade por -1 (e inverter o sinal) obtemos
\frac{x(x+4)}{(x-2)(x+2)} > 0.
Os pontos críticos são x=-4,0,-2,2, com x\neq\pm2. Fazendo a análise de sinais em cada intervalo, concluímos que a fração é positiva em
(-\infty,-4),\quad(-2,0),\quad(2,\infty),
e zero em x=-4 e x=0, que não satisfazem “ >0”.

Resposta

x \in (-\infty,-4)\;\cup\;(-2,0)\;\cup\;(2,\infty).

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