Determine os valores de x \in \mathbb{R} que satisfaçam
\sqrt{4 x-3}>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo raiz quadrada
\sqrt{4x - 3} > x
Esse tipo de problema exige primeiro determinar o domínio da raiz e depois, com cuidado, elevar ao quadrado para eliminar a raiz.

Passo 2

Verificamos o domínio de \sqrt{4x-3}, que exige
4x - 3 \ge 0
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x \ge \tfrac{3}{4}.

Passo 3

Para x \ge \tfrac{3}{4} temos x\ge0 e \sqrt{4x-3}\ge0, então podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter a desigualdade:
(\sqrt{4x-3})^2 > x^2
ou seja
4x - 3 > x^2.

Passo 4

Reescrevendo como inequação quadrática:
x^2 - 4x + 3 < 0.
Fatorando:
(x-1)(x-3) < 0.
A solução dessa inequação é
1 < x < 3.

Passo 5

Por fim, intersectamos essa solução com o domínio x\ge\tfrac{3}{4}. Como 1>\tfrac{3}{4}, a interseção é
1 < x < 3.

Resposta

x \in (1,3)

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