Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
. Podemos formar novos subespaços usando as operações
definidas nos Problemas 20 e 22. Quando fazemos aritmética com números, sabemos que a operação de multiplicação é distributiva em relação à operação de adição no sentido de
É natural perguntar se leis distributivas similares valem para as duas operações com subespaços.
(a) A operação de interseção para subespaços é distributiva em relação à operação de adição? Isto é
(a) A operação de interseção para subespaços é distributiva em relação à operação de adição? Isto é
Passo 1
O enunciado dá três subespaços
,
e
de um espaço vetorial
e pergunta se a igualdade abaixo vale em geral:
Vou listar claramente o que o problema pede e o que foi dado:
- Dados:
, e são subespaços de . - Pedido: verificar se a igualdade acima é verdadeira para quaisquer subespaços
(ou seja, se a interseção distribui sobre a soma).
Passo 2
Primeiro vou recordar e explicar o que significam as operações envolvidas (sem resolver ainda).
- Definição de soma de subespaços:
Isto é,é o menor subespaço que contém e ; é formado por todas as somas de um vetor de com um vetor de . - Definição de interseção de subespaços:
A interseção é também um subespaço (pense nela como os vetores que pertencem simultaneamente aos dois subespaços).
Estas definições bastam para começar a comparar os dois lados da igualdade pedida.
Passo 3
Vou provar que sempre existe uma inclusão entre os dois conjuntos, ou seja, que um dos lados está contido no outro. Mostrarei que
Prova detalhada e didática:
- Pegue um vetor arbitrário
.
Por definição de soma, existee tais que . - Como
e , temos e . Como é subespaço, ele é fechado sob soma, logo . - Além disso,
e , então por definição de soma . - Portanto
e , isto é, . - Como
foi escolhido arbitrariamente, concluímos que .
Comentário didático: essa inclusão é natural porque ao somar vetores que já estão em(os termos de cada interseção), a soma permanece em , e também por construção pertence a .
Passo 4
Agora precisamos ver se a outra inclusão também vale, ou seja, se sempre vale
Vou mostrar que essa inclusão nem sempre é verdadeira, apresentando um contraexemplo concreto em que a igualdade falha.
Contraexemplo em detalhes (passo a passo):
- Tome
. - Defina subespaços:
(Comentário:
é o eixo
,
é o eixo
,
é a diagonal.)
- Calcule
. Como qualquer vetor pode ser escrito como com e , segue que - Então
pois intersectar com todo o não tira nada — fica o próprio . - Agora calcule
. Um vetor pertence a se e só se sua segunda coordenada for zero, ou seja, se . Portanto De forma análoga, . - Assim
- Comparando os dois lados:
que contém vetores não nulos (por exemplo ), enquanto . Logo não são iguais: - Portanto a inclusão inversa falha neste exemplo, e a igualdade em geral não vale.
Passo 5
Resumo didático e interpretação prática (como usar isso na prova):
- Já sabemos que sempre vale a inclusão
A prova é curta e baseada apenas nas definições de soma e interseção e na propriedade de subespaço (fechamento sob soma). - Porém a igualdade completa
não é verdadeira em geral: o contraexemplo em mostra isso claramente. - Intuição: um vetor
é um vetor em que pode ser escrito como com , . Para que esteja em é necessário que os termos e possam ser escolhidos de forma que ambos pertençam a (ou seja, cada parcela esteja já em ). Nem sempre isso é possível: a decomposição pode exigir componentes que não estejam em . - Situações em que a igualdade ocorre: se, por exemplo,
(ou ), então a igualdade vale trivialmente, pois e . Mais geralmente, a igualdade vale quando, para todo , existe uma decomposição com e — isto é exatamente a condição necessária e suficiente, mas nem sempre alcançável.
Resposta
Não.