Determine os valores de x para que a matriz A abaixo seja simétrica \left(A=A^{t}\right) :
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & x^{2} \\\\ 4 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede os valores de x tais que A=A^{t}. Informações fornecidas:
  • A=\begin{pmatrix} 2 & x^{2}\\[4pt] 4 & 5 \end{pmatrix}
  • Pergunta: determinar todos os x para os quais A é simétrica, isto é, para os quais vale A=A^{t}.]

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa tomar a transposta de uma matriz e o que é matriz simétrica (a explicação é bem passo a passo, sem pressa).
  • Para uma matriz qualquer B=(b_{ij}), a transposta B^{t} é a matriz cujos elementos são dados por (B^{t})_{ij}=b_{ji}. Em palavras: troca-se linha por coluna.
  • Uma matriz é chamada simétrica quando ela coincide com sua transposta: B=B^{t}. Isso implica que cada elemento na posição (i,j) deve ser igual ao elemento na posição (j,i): b_{ij}=b_{ji} para todo i,j.

Passo 3

Aplicando isso ao caso de uma matriz 2\times2:
  • Se B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}, então
B^{t}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{21}\\[4pt]b_{12}&b_{22}\end{pmatrix}.
  • Para que B=B^{t} é necessário e suficiente que os elementos fora da diagonal principal sejam iguais, ou seja b_{12}=b_{21}. Os elementos da diagonal b_{11} e b_{22} já coincidem com suas posições na transposta.]

Passo 4

Agora apliquei essa ideia à matriz A dada. Os elementos são:
  • a_{12}=x^{2} (peguei isso do enunciado, elemento primeira linha, segunda coluna),
  • a_{21}=4 (peguei isso do enunciado, elemento segunda linha, primeira coluna).
    Para A ser simétrica devemos ter
x^{2}=4.

Passo 5

Resolver a equação x^{2}=4. Dois métodos simples (mostro os dois porque é útil na prova):
Método 1 — fatorando:
x^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0,
logo as soluções são x=2 ou x=-2.
Método 2 — raiz quadrada:
x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{4}=\pm 2.
Ambos chegam ao mesmo resultado: x=2 ou x=-2.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): para x=2 temos x^{2}=4 e a matriz fica
\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]4&5\end{pmatrix},
que é igual à sua transposta. Para x=-2 também x^{2}=4 e obtemos a mesma matriz, portanto também é simétrica. Ambas as soluções são válidas.]

Passo 7

Dica prática para provas rápidas: quando a matriz tem entradas em termos de x, calcule a transposta e iguale as posições (i,j) e (j,i) correspondentes; isso normalmente gera equações simples (como polinomiais de baixo grau) que se resolvem facilmente.

Resposta

x=2
x=-2

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