Pergunta: determinar todos os x para os quais A é simétrica, isto é, para os quais vale A=A^{t}.]
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significa tomar a transposta de uma matriz e o que é matriz simétrica (a explicação é bem passo a passo, sem pressa).
Para uma matriz qualquer B=(b_{ij}), a transposta B^{t} é a matriz cujos elementos são dados por (B^{t})_{ij}=b_{ji}. Em palavras: troca-se linha por coluna.
Uma matriz é chamada simétrica quando ela coincide com sua transposta: B=B^{t}. Isso implica que cada elemento na posição (i,j) deve ser igual ao elemento na posição (j,i): b_{ij}=b_{ji} para todo i,j.
Passo 3
Aplicando isso ao caso de uma matriz 2\times2:
Se B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt]b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}, então
Para que B=B^{t} é necessário e suficiente que os elementos fora da diagonal principal sejam iguais, ou seja b_{12}=b_{21}. Os elementos da diagonal b_{11} e b_{22} já coincidem com suas posições na transposta.]
Passo 4
Agora apliquei essa ideia à matriz A dada. Os elementos são:
a_{12}=x^{2} (peguei isso do enunciado, elemento primeira linha, segunda coluna),
a_{21}=4 (peguei isso do enunciado, elemento segunda linha, primeira coluna).
Para A ser simétrica devemos ter
x^{2}=4.
Passo 5
Resolver a equação x^{2}=4. Dois métodos simples (mostro os dois porque é útil na prova):
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): para x=2 temos x^{2}=4 e a matriz fica
\begin{pmatrix}2&4\\[4pt]4&5\end{pmatrix},
que é igual à sua transposta. Para x=-2 também x^{2}=4 e obtemos a mesma matriz, portanto também é simétrica. Ambas as soluções são válidas.]
Passo 7
Dica prática para provas rápidas: quando a matriz tem entradas em termos de x, calcule a transposta e iguale as posições (i,j) e (j,i) correspondentes; isso normalmente gera equações simples (como polinomiais de baixo grau) que se resolvem facilmente.