O que se pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Escolho o método da eliminação (eliminação de Gauss), porque é um procedimento direto para sistemas lineares: transforma o sistema num triangular superior por operações elementares sobre linhas e depois resolve por substituição regressiva. Operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não-nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) não alteram o conjunto de soluções — essa é a ideia fundamental por trás do método.
Passo 3
Represento o sistema pela matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; a barra separa coeficientes do termo independente):
Agora elimino y em R_3 usando R_2. Como R_2 tem coeficiente 8 em y e R_3 tem -6, escolho combinar com o múltiplo \tfrac{3}{4}R_2, porque \tfrac{3}{4}\cdot 8=6.
Faço R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{3}{4}R_2. Calculo \tfrac{3}{4}R_2=[0,6,-6,-15] e somo a R_3=[0,-6,1,9]:
Comentário didático: chegar a essa forma significa que agora a terceira equação envolve apenas z, a segunda envolve y e z, e a primeira envolve x,y,z — fica fácil resolver por substituição regressiva.]
Passo 6
Extraio a equação da terceira linha e resolvo para z:
-5z = -6 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}.
Pequena explicação: isolo z dividindo ambos os lados por -5. Sempre cuidado com sinal ao dividir.
Passo 7
Volto à segunda linha para achar y. A segunda linha dá a equação
8y - 8z = -20.
Substituo z=\dfrac{6}{5}:
8y - 8\cdot\frac{6}{5} = -20.
Calculo 8\cdot\frac{6}{5}=\frac{48}{5}. Então
8y = -20 + \frac{48}{5}.
Transformo -20 em quinta avos: -20=-\dfrac{100}{5}. Assim
x + \left(-\frac{13}{5}\right) + \left(-\frac{12}{5}\right) = -6.
Somando os dois termos em quinta avos: -\dfrac{13}{5}-\dfrac{12}{5}=-\dfrac{25}{5}=-5. Logo
x - 5 = -6 \quad\Rightarrow\quad x = -1.
Passo 9
Faço uma checagem rápida substituindo (x,y,z)=\left(-1,-\dfrac{13}{10},\dfrac{6}{5}\right) nas três equações originais (apenas soma e multiplicação) para garantir que todas ficam verdadeiras. São cálculos diretos e conferem (se desejar, posso detalhar cada substituição, mas já verifiquei que funcionam).