Resolva os seguintes sistemas:
x+2 y-2 z=-6
-3 x+2 y-2 z=-2
3 x-5 z=-9

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear com três incógnitas. As equações fornecidas são (copiei exatamente do enunciado):
\begin{cases} x+2y-2z=-6,\\[4pt] -3x+2y-2z=-2,\\[4pt] 3x-5z=-9. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Escolho o método da eliminação (eliminação de Gauss), porque é um procedimento direto para sistemas lineares: transforma o sistema num triangular superior por operações elementares sobre linhas e depois resolve por substituição regressiva. Operações elementares (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não-nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) não alteram o conjunto de soluções — essa é a ideia fundamental por trás do método.

Passo 3

Represento o sistema pela matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação; a barra separa coeficientes do termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & -6\\[4pt] -3 & 2 & -2 & -2\\[4pt] 3 & 0 & -5 & -9 \end{array}\right].
Explicação rápida: as colunas representam os coeficientes de x, y, z e a coluna da direita é o termo independente.]

Passo 4

Elimino x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Faço R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1. Calculo 3R_1=[3,6,-6,-18] e somo a R_2=[-3,2,-2,-2]:
R_2 = [0,8,-8,-20].
Faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Calculo 3R_1=[3,6,-6,-18] e subtraio de R_3=[3,0,-5,-9]:
R_3 = [0,-6,1,9].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & -6\\[4pt] 0 & 8 & -8 & -20\\[4pt] 0 & -6 & 1 & 9 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora elimino y em R_3 usando R_2. Como R_2 tem coeficiente 8 em y e R_3 tem -6, escolho combinar com o múltiplo \tfrac{3}{4}R_2, porque \tfrac{3}{4}\cdot 8=6.
Faço R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{3}{4}R_2. Calculo \tfrac{3}{4}R_2=[0,6,-6,-15] e somo a R_3=[0,-6,1,9]:
R_3 = [0,0,-5,-6].
A matriz triangular superior é então
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & -6\\[4pt] 0 & 8 & -8 & -20\\[4pt] 0 & 0 & -5 & -6 \end{array}\right].
Comentário didático: chegar a essa forma significa que agora a terceira equação envolve apenas z, a segunda envolve y e z, e a primeira envolve x,y,z — fica fácil resolver por substituição regressiva.]

Passo 6

Extraio a equação da terceira linha e resolvo para z:
-5z = -6 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}.
Pequena explicação: isolo z dividindo ambos os lados por -5. Sempre cuidado com sinal ao dividir.

Passo 7

Volto à segunda linha para achar y. A segunda linha dá a equação
8y - 8z = -20.
Substituo z=\dfrac{6}{5}:
8y - 8\cdot\frac{6}{5} = -20.
Calculo 8\cdot\frac{6}{5}=\frac{48}{5}. Então
8y = -20 + \frac{48}{5}.
Transformo -20 em quinta avos: -20=-\dfrac{100}{5}. Assim
8y = -\frac{100}{5} + \frac{48}{5} = -\frac{52}{5}.
Divido por 8:
y = \frac{-\tfrac{52}{5}}{8} = -\frac{52}{5}\cdot\frac{1}{8} = -\frac{52}{40} = -\frac{13}{10}.
Cheque mental: -\dfrac{13}{10}=-1{,}3.

Passo 8

Agora uso a primeira equação para achar x. A primeira equação é
x + 2y - 2z = -6.
Substituo y=-\dfrac{13}{10} e z=\dfrac{6}{5}.
Calculo 2y = 2\cdot\left(-\frac{13}{10}\right) = -\frac{26}{10} = -\frac{13}{5}.
Calculo -2z = -2\cdot\frac{6}{5} = -\frac{12}{5}.
Então
x + \left(-\frac{13}{5}\right) + \left(-\frac{12}{5}\right) = -6.
Somando os dois termos em quinta avos: -\dfrac{13}{5}-\dfrac{12}{5}=-\dfrac{25}{5}=-5. Logo
x - 5 = -6 \quad\Rightarrow\quad x = -1.

Passo 9

Faço uma checagem rápida substituindo (x,y,z)=\left(-1,-\dfrac{13}{10},\dfrac{6}{5}\right) nas três equações originais (apenas soma e multiplicação) para garantir que todas ficam verdadeiras. São cálculos diretos e conferem (se desejar, posso detalhar cada substituição, mas já verifiquei que funcionam).

Resposta

x=-1\
y=-\dfrac{13}{10}\
z=\dfrac{6}{5}

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