Determine os valores de máximo absoluto e de mínimo absoluto da função
na região fechada D , limitada pela parábola
e pela reta
. onde a temperatra é mais elevada e onde é menos elevada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x, y) = 1 + xy - x - y $ na região fechada $ D $, que é limitada pela parábola $ y = x^2 $ e pela reta $ y = 4 $. Esse tipo de problema envolve otimização de funções de duas variáveis em uma região limitada, então vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e também analisar os limites da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $ dentro da região $ D $. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, temos um ponto crítico em $ (1, 1) $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto $ (1, 1) $ está dentro da região $ D $. A região é limitada por $ y = x^2 $ e $ y = 4 $. Para $ x = 1 $, temos $ y = 1^2 = 1 $, que é menor que 4, então o ponto está dentro da região.
Passo 4
Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Passo 5
Agora, precisamos analisar os limites da região $ D $ para encontrar possíveis valores máximos e mínimos. A região é limitada por:
- A parábola $ y = x^2 $
- A reta $ y = 4 $
Vamos analisar cada uma dessas fronteiras.
Passo 6
Primeiro, vamos considerar a reta $ y = 4 $. Nessa reta, $ y $ é constante e igual a 4, então a função fica:
Essa é uma função linear de $ x $. Para encontrar os valores máximos e mínimos, precisamos saber os valores de $ x $ na interseção das fronteiras. A parábola $ y = x^2 $ e a reta $ y = 4 $ se cruzam quando $ x^2 = 4 $, ou seja, $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Então, na reta $ y = 4 $, $ x $ varia de -2 a 2.
Vamos calcular $ f(x, 4) $ nesses pontos:
Passo 7
Agora, vamos analisar a parábola $ y = x^2 $. Nessa curva, $ y = x^2 $, então a função fica:
Para encontrar os extremos nessa curva, vamos derivar em relação a $ x $ e igualar a zero:
Igualando a zero:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, $ x = 1 $ e $ x = -\frac{1}{3} $.
Vamos verificar esses pontos na função:
Calculando:
Passo 8
Agora, resumindo os valores que encontramos:
- No ponto crítico $ (1, 1) $: $ f = 0 $
- Na reta $ y = 4 $:
- Em $ (2, 4) $: $ f = 3 $
- Em $ (-2, 4) $: $ f = -9 $
- Na parábola $ y = x^2 $:
- Em $ \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}\right) $: $ f \approx 1,185 $
Resposta
O valor máximo absoluto da função é $ 3 $ no ponto $ (2, 4) $ e o valor mínimo absoluto é $ -9 $ no ponto $ (-2, 4) $. Portanto, a temperatura é mais elevada em $ (2, 4) $ e menos elevada em $ (-2, 4) $.