Determine os valores de máximo absoluto e de mínimo absoluto da função
f(x, y)=1+x y-x-y
na região fechada D , limitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=4. onde a temperatra é mais elevada e onde é menos elevada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x, y) = 1 + xy - x - y $ na região fechada $ D $, que é limitada pela parábola $ y = x^2 $ e pela reta $ y = 4 $. Esse tipo de problema envolve otimização de funções de duas variáveis em uma região limitada, então vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e também analisar os limites da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $ dentro da região $ D $. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f(x, y)
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
D
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
f
x
Então, temos um ponto crítico em $ (1, 1) $.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto $ (1, 1) $ está dentro da região $ D $. A região é limitada por $ y = x^2 $ e $ y = 4 $. Para $ x = 1 $, temos $ y = 1^2 = 1 $, que é menor que 4, então o ponto está dentro da região.

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
f(1, 1) = 1 + (1)(1) - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0

Passo 5

Agora, precisamos analisar os limites da região $ D $ para encontrar possíveis valores máximos e mínimos. A região é limitada por:
  1. A parábola $ y = x^2 $
  2. A reta $ y = 4 $
Vamos analisar cada uma dessas fronteiras.

Passo 6

Primeiro, vamos considerar a reta $ y = 4 $. Nessa reta, $ y $ é constante e igual a 4, então a função fica:
y = 4
Essa é uma função linear de $ x $. Para encontrar os valores máximos e mínimos, precisamos saber os valores de $ x $ na interseção das fronteiras. A parábola $ y = x^2 $ e a reta $ y = 4 $ se cruzam quando $ x^2 = 4 $, ou seja, $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Então, na reta $ y = 4 $, $ x $ varia de -2 a 2.
Vamos calcular $ f(x, 4) $ nesses pontos:
y
f(x, 4) = 1 + x(4) - x - 4 = 1 + 4x - x - 4 = 3x - 3

Passo 7

Agora, vamos analisar a parábola $ y = x^2 $. Nessa curva, $ y = x^2 $, então a função fica:
y = x^2
Para encontrar os extremos nessa curva, vamos derivar em relação a $ x $ e igualar a zero:
y = x^2
Igualando a zero:
f(x, x^2) = 1 + x(x^2) - x - x^2 = 1 + x^3 - x - x^2
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x
Então, $ x = 1 $ e $ x = -\frac{1}{3} $.
Vamos verificar esses pontos na função:
dfdx = 3x^2 - 1 - 2x á
3x^2 - 2x - 1 = 0
Calculando:
x = 2 pm raiz(2)^2 - 4(3)(-1)2(3) = 2 pm raiz4 + 126 = 2 pm raiz166 = 2 pm 46
x = 1
x = -13

Passo 8

Agora, resumindo os valores que encontramos:
  • No ponto crítico $ (1, 1) $: $ f = 0 $
  • Na reta $ y = 4 $:
    • Em $ (2, 4) $: $ f = 3 $
    • Em $ (-2, 4) $: $ f = -9 $
  • Na parábola $ y = x^2 $:
    • Em $ \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}\right) $: $ f \approx 1,185 $

Resposta

O valor máximo absoluto da função é $ 3 $ no ponto $ (2, 4) $ e o valor mínimo absoluto é $ -9 $ no ponto $ (-2, 4) $. Portanto, a temperatura é mais elevada em $ (2, 4) $ e menos elevada em $ (-2, 4) $.

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