Seja
onde
é uma função diferenciável.
Sabendo que
, calcule
.
Sabendo que
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função $ g(t) = f\left(e^{3 t}, 5 t^{4} + t^{2}, \cos t\right) $ onde $ f $ é diferenciável. O objetivo é calcular a derivada de $ g $ em $ t = 0 $, ou seja, encontrar $ g’(0) $. Para resolver isso, vamos usar o teorema da cadeia para derivadas de funções compostas. A gente também vai precisar das derivadas parciais de $ f $ no ponto específico dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ g(t) = f(u(t), v(t), w(t)) $, onde:
- $ u(t) = e^{3t} $
- $ v(t) = 5t^{4} + t^{2} $
- $ w(t) = \cos t $
Para achar $ g’(t) $, vamos derivar $ f $ em relação a cada uma das suas variáveis $ u, v, w $, multiplicando pelas derivadas correspondentes dessas variáveis em relação a $ t $.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ g(t) $ em relação a $ t $ fica:
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ u, v, w $ respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
-
Derivada de $ u(t) = e^{3t} $:
-
Derivada de $ v(t) = 5t^{4} + t^{2} $:
-
Derivada de $ w(t) = \cos t $:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ t = 0 $:
- $ \frac{du}{dt}\Big|_{t=0} = 3 e^{0} = 3 $
- $ \frac{dv}{dt}\Big|_{t=0} = 20 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0 = 0 $
- $ \frac{dw}{dt}\Big|_{t=0} = -\sin 0 = 0 $
Passo 6
Também precisamos das derivadas parciais de $ f $ no ponto onde $ t = 0 $. Para isso, calculamos os valores das funções $ u, v, w $ em $ t = 0 $:
- $ u(0) = e^{0} = 1 $
- $ v(0) = 5 \cdot 0^{4} + 0^{2} = 0 $
- $ w(0) = \cos 0 = 1 $
Então, as derivadas parciais no ponto $ (1, 0, 1) $ são:
- $ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 0, 1) = \frac{1}{6} $
- $ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 0, 1) $ e $ \frac{\partial f}{\partial z}(1, 0, 1) $ não foram fornecidas, então vamos considerá-las como zero por falta de informação.
Passo 7
Agora, substituímos tudo na expressão da derivada:
Resposta
$ g’(0) = \frac{1}{2} $