Encontre a solução geral das seguintes edos lineares homogêneas de tipo Euler-Cauchy:
x^2 y^prime prime-7 x y^prime+16 y=0, x neq 0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y''-7x,y'+16y=0, xneq0,
que é uma EDO com coeficientes monômios em x. Para resolver, vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=x^m.

Passo 2

Assumimos
y=x^m,
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y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação original:
x^2l[m(m-1)x^m-2r]-7xl[mx^m-1r]+16x^m=0
Isso simplifica para
m(m-1)x^m-7m,x^m+16x^m=0

Passo 3

Fatorando x^mneq0, obtemos a equação característica
m(m-1)-7m+16=0 Longrightarrow m^2-8m+16=0
O discriminante é De<a =(-8)^2-4cdot1cdot16=64-64=0, logo há raiz dupla.

Passo 4

Como a raiz é
m = 82=4
com multiplicidade 2, a forma da solução geral para Euler–Cauchy com raiz dupla é
y=C1x^m+C2x^mlnl|xr|

Resposta

boxedy=C1x^4+C2x^4lnl|xr|, xneq0

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