Mostre que, para certas frequências
, a solução da equação da onda pode ter a forma:
Encontre a relação entre
e
.
Descreva fisicamente como obter essa configuração usando uma corda presa nas extremidades.
Descreva fisicamente como obter essa configuração usando uma corda presa nas extremidades.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar soluções da equação da onda unidimensional
no intervalo
sujeitas às condições de contorno
O objetivo é mostrar que existe solução da forma
e achar a relação entre
,
,
e
. Vamos usar separação de variáveis.
Passo 2
Assumimos
Substituindo em
dá
onde
é constante de separação.
Passo 3
Da parte espacial obtemos
com
e
. A solução geral é
Impor
implica
. Em seguida
leva a
Logo
Passo 4
Da parte temporal temos
onde
A solução mais simples é
(escolhendo fase zero e amplitude
em
).
Passo 5
Combinando as partes espacial e temporal surge o modo normal
e a relação exigida é
Passo 6
Física da configuração: pegue uma corda tensionada e prenda rigidamente em
e
. Esses pontos atuam como nós onde
. Ao excitar a corda numa frequência angular
(por exemplo com um transdutor ou afinando a tensão), ela entra em ressonância no
-ésimo harmônico, formando
mechas de meia-onda ao longo do comprimento. Plugar ou oscilar exatamente nessa frequência faz surgir o modo estacionário
com nós nas extremidades e nos pontos intermediários definidos por
.