Mostre que, para certas frequências omega, a solução da equação da onda pode ter a forma:
u(x, t)=A sin (n pi xL) cos (omega t)
Encontre a relação entre omega, n, L e c.
Descreva fisicamente como obter essa configuração usando uma corda presa nas extremidades.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar soluções da equação da onda unidimensional
utt = c^2,uxx
no intervalo 0<= x<= L sujeitas às condições de contorno
u(0,t)=0, u(L,t)=0
O objetivo é mostrar que existe solução da forma
u(x,t)=Asin!l(tfracnpi xLr)cos(omega t)
e achar a relação entre omega, n, L e c. Vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Assumimos
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em utt=c^2uxx
X(x),T''(t)=c^2X''(x),T(t) Longrightarrow T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

Da parte espacial obtemos
X''+lambda X=0,
com X(0)=0 e X(L)=0. A solução geral é
X(x)=Csin(raizlambda,x)+Dcos(raizlambda,x)
Impor X(0)=0 implica D=0. Em seguida X(L)=0 leva a
sin(raizlambda,L)=0 Longrightarrow raizlambda,L = npi, n=1,2,3,dots
Logo
lambdan = l(tfracnpiLr)^2, Xn(x)=sin!l(tfracnpi xLr)

Passo 4

Da parte temporal temos
T''+c^2lambdan,T=0 Longrightarrow T''+omegan^2,T=0,
onde
omegan = c,raizlambdan = c,npiL
A solução mais simples é
Tn(t)=cos(omegan t)
(escolhendo fase zero e amplitude A em u).

Passo 5

Combinando as partes espacial e temporal surge o modo normal
un(x,t) = A,sin!l(tfracnpi xLr),cos(omegan t),
e a relação exigida é
boxedomegan = npi,cL, n=1,2,3,dots

Passo 6

Física da configuração: pegue uma corda tensionada e prenda rigidamente em x=0 e x=L. Esses pontos atuam como nós onde u=0. Ao excitar a corda numa frequência angular omegan (por exemplo com um transdutor ou afinando a tensão), ela entra em ressonância no n-ésimo harmônico, formando n mechas de meia-onda ao longo do comprimento. Plugar ou oscilar exatamente nessa frequência faz surgir o modo estacionário
un(x,t)=Asinl(tfracnpi xLr)cos(tfracnpi cL,t),
com nós nas extremidades e nos pontos intermediários definidos por sin(npi x/L)=0.

Resposta

omega = npi,cL, n=1,2,3,dots

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