Seja f(x, y)=l5 x y^2x^2+y^2,(x, y) neq(0,0) 0, (x, y)=(0,0). Calcular 2 f(1,1)-partial fpartial x(1,2)+partial fpartial y(1,2)-partial fpartial x(0,0)

Passo 1

Primeiro, recapitulemos o enunciado: temos a função
f(x,y)= dfrac5xy^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
O objetivo é computar
2f(1,1)-partial fpartial x(1,2)+partial fpartial y(1,2)-partial fpartial x(0,0)
Vamos precisar avaliar a função em
(1,1), obter as derivadas parciais via regra do quociente e usar limite para
fx(0,0).

Passo 2

Vamos calcular
f(1,1)=5cdot1cdot1^21^2+1^2=52
Logo
2f(1,1)=2cdot52=5

Passo 3

Agora, para
(x,y)neq(0,0) aplicamos a regra do quociente. Definindo
N(x,y)=5xy^2 e
D(x,y)=x^2+y^2, temos
partial fpartial x=NxD-NDxD^2 =5y^2(x^2+y^2)-5xy^2cdot2x(x^2+y^2)^2 =5y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y=NyD-NDyD^2 =10xy(x^2+y^2)-5xy^2cdot2y(x^2+y^2)^2 =10x^3y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora avaliamos em
(1,2):
x^2+y^2=1+4=5,
fx(1,2)=5cdot2^2(2^2-1^2)5^2=5cdot4cdot325=6025=125,
fy(1,2)=10cdot1^3cdot225=2025=45

Passo 5

Para
fx(0,0) usamos definição via limite ao longo do eixo
x (com
y=0):
$$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.$$

Passo 6

Juntando tudo:
2f(1,1)-fx(1,2)+fy(1,2)-fx(0,0) =5-125+45-0 =5-85 =25-85 =175

Resposta

17/5

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