Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=y^2-x^2, D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os valores máximo e mínimo absolutos de f(x,y)=y{2}-x{2} num disco D de raio 2. O que vamos usar aqui é cálculo de extremos em conjunto compacto: como f é contínua e D é fechado e limitado, os extremos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira.

Passo 2

Vamos primeiro achar os pontos críticos internos, ou seja, resolver ∇f=0. As derivadas parciais são
∂f/∂x=-2x, ∂f/∂y=2y
Igualando a zero, vem x=0 e y=0. Então o único ponto crítico interno é (0,0), e f(0,0)=0.

Passo 3

Agora estudamos a fronteira, onde x{2}+y{2}=4. A gente pode parametrizar usando um ângulo θ:
x=2costheta, y=2sintheta
Substituindo em f:
f= (2sintheta)^2 - (2costheta)^2 =4sin^2theta -4cos^2theta =4(sin^2theta -cos^2theta)= -4cos2theta
Como cos2theta varia entre -1 e 1, temos f variando entre -4 e 4. O máximo f=4 ocorre quando cos2theta=-1, isto é, em θ=π/2 ou 3π/2 (pontos (0,2) e (0,-2)). O mínimo f=-4 ocorre quando cos2theta=1, em θ=0 ou π (pontos (2,0) e (-2,0)).

Passo 4

Agora basta comparar com o ponto interno: f(0,0)=0 está entre -4 e 4, então não é extremo absoluto. Logo o máximo absoluto é 4 e o mínimo absoluto é -4.

Resposta

O valor máximo absoluto é 4, atingido em (0,2) e (0,-2). O valor mínimo absoluto é -4, atingido em (2,0) e (-2,0).

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