Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar os valores máximo e mínimo absolutos de f(x,y)=y{2}-x{2} num disco D de raio 2. O que vamos usar aqui é cálculo de extremos em conjunto compacto: como f é contínua e D é fechado e limitado, os extremos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira.
Passo 2
Vamos primeiro achar os pontos críticos internos, ou seja, resolver ∇f=0. As derivadas parciais são
Igualando a zero, vem x=0 e y=0. Então o único ponto crítico interno é (0,0), e f(0,0)=0.
Passo 3
Agora estudamos a fronteira, onde x{2}+y{2}=4. A gente pode parametrizar usando um ângulo θ:
Substituindo em f:
Como
varia entre -1 e 1, temos f variando entre -4 e 4. O máximo f=4 ocorre quando
, isto é, em θ=π/2 ou 3π/2 (pontos (0,2) e (0,-2)). O mínimo f=-4 ocorre quando
, em θ=0 ou π (pontos (2,0) e (-2,0)).
Passo 4
Agora basta comparar com o ponto interno: f(0,0)=0 está entre -4 e 4, então não é extremo absoluto. Logo o máximo absoluto é 4 e o mínimo absoluto é -4.
Resposta
O valor máximo absoluto é 4, atingido em (0,2) e (0,-2). O valor mínimo absoluto é -4, atingido em (2,0) e (-2,0).