Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y).
f(x, y)=x^3+2 x y+y^2-5 x

Passo 1

Neste exercício vamos achar os extremos locais e pontos de sela da função de duas variáveis
f(x,y)=x3+2xy+y2-5x, usando gradiente e Hessiana.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f e achamos os pontos críticos. Temos
nabla f=(fx,fy)=(3x^2+2y-5,;2x+2y).
Igualando a zero:
3x^2+2y-5=0 e 2(x+y)=0 y=-x. Substituindo em 3x^2+2y-5=0 obtemos
3x^2-2x-5=0, cujas raízes são x=5/3 e x=-1. Assim os pontos críticos são
(5/3,-5/3) e (-1,1).

Passo 3

Em seguida formamos a matriz Hessiana de f:
H(x,y)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 =6x & 22 & 2

Passo 4

Agora classificamos cada ponto pelo determinante D=det H=6xcdot2-2^2=12x-4 e pelo sinal de fxx=6x:
  • Em (5/3,-5/3): D=12cdot53-4=20-4=16>0 e fxx=6cdot53=10>0, logo é mínimo local.
  • Em (-1,1): D=12cdot(-1)-4=-12-4=-16<0, logo é ponto de sela.

Passo 5

Por fim avaliamos o valor de f no mínimo encontrado:
fl(5/3,-5/3r)=l(53r)^3+2cdot53cdotl(-53r)+l(-53r)^2-5cdot53=-17527

Resposta

A função tem um único mínimo local em (5/3, −5/3) com valor f=−175/27 e um ponto de sela em (−1, 1). Não há máximos locais.

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