Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função .
Passo 1
Neste exercício vamos achar os extremos locais e pontos de sela da função de duas variáveis
f(x,y)=x3+2xy+y2-5x, usando gradiente e Hessiana.
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de f e achamos os pontos críticos. Temos .
Igualando a zero: e dá . Substituindo em obtemos , cujas raízes são e . Assim os pontos críticos são e .
Passo 3
Em seguida formamos a matriz Hessiana de f:
Passo 4
Agora classificamos cada ponto pelo determinante D=det H=6xcdot2-2^2=12x-4 e pelo sinal de fxx=6x:
Em (5/3,-5/3): D=12cdot53-4=20-4=16>0 e fxx=6cdot53=10>0, logo é mínimo local.
Em (-1,1): D=12cdot(-1)-4=-12-4=-16<0, logo é ponto de sela.
Passo 5
Por fim avaliamos o valor de f no mínimo encontrado: