Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
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Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x,y)=x^2+3xy-3x no conjunto D=(x,y)in R^2:x>=0, y>=0, x+y<=1. Esse é um problema de extremos absolutos em um domínio compacto no plano.

Passo 2

Pela teoria de extremos absolutos (Teorema de Weierstrass), uma função contínua em um conjunto compacto atinge valores extremos em pontos críticos interiores (onde nabla f=0) ou na fronteira de D. Então faremos: (i) calcular nabla f; (ii) resolver nabla f=0 em int(D); (iii) analisar cada aresta de D.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: fx=2x+3y-3 e fy=3x. Igualando a zero, de fy=0 vem x=0. Substituindo em fx=0 obtemos 3y-3=0 y=1. O ponto (0,1) satisfaz x+y=1, isto é, está na fronteira, não no interior de D. Logo não há pontos críticos interiores.

Passo 4

Analisamos as arestas coordenadas: para x=0, yin[0,1] temos f(0,y)=0. Para y=0, xin[0,1] definimos g(x)=f(x,0)=x^2-3x. A derivada g'(x)=2x-3 anula-se em x=3/2, que está fora de [0,1]. Assim, nos extremos da aresta aparecem f(0,0)=0 e f(1,0)=-2.

Passo 5

Na aresta x+y=1 com x,y>=0, fazemos y=1-x e definimos h(x)=f(x,1-x)=x^2+3x(1-x)-3x=-2x^2, xin[0,1]. Essa parábola tem máximo h(0)=0 e mínimo h(1)=-2.

Passo 6

Comparando todos os valores obtidos ( 0 e -2), conclui-se que o máximo absoluto de f em D é 0 e o mínimo absoluto é -2.

Resposta

Máximo absoluto: 0; Mínimo absoluto: -2

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