Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
e
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
. Esse é um problema de extremos absolutos em um domínio compacto no plano.
Passo 2
Pela teoria de extremos absolutos (Teorema de Weierstrass), uma função contínua em um conjunto compacto atinge valores extremos em pontos críticos interiores (onde
) ou na fronteira de
. Então faremos: (i) calcular
; (ii) resolver
em
; (iii) analisar cada aresta de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
e
. Igualando a zero, de
vem
. Substituindo em
obtemos
⇒
. O ponto
satisfaz
, isto é, está na fronteira, não no interior de
. Logo não há pontos críticos interiores.
Passo 4
Analisamos as arestas coordenadas: para
,
temos
. Para
,
definimos
. A derivada
anula-se em
, que está fora de
. Assim, nos extremos da aresta aparecem
e
.
Passo 5
Na aresta
com
, fazemos
e definimos
,
. Essa parábola tem máximo
e mínimo
.
Passo 6
Comparando todos os valores obtidos (
e
), conclui-se que o máximo absoluto de
em
é
e o mínimo absoluto é
.
Resposta
Máximo absoluto: 0; Mínimo absoluto: -2