Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
(a)
,
é a região triangular fechada com vértices
e
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Estamos buscando os extremos absolutos de funções de duas variáveis em conjuntos fechados: na parte (a) queremos os valores máximo e mínimo de
no triângulo fechado com vértices
,
e
; na parte (b) queremos os extremos de
no disco unitário
. Para isso usamos que, em domínios compactos, extremos absolutos ocorrem em pontos críticos (onde
) ou na fronteira.
Passo 2
Para (a), calculamos as derivadas parciais:
e
. Igualando a zero obtemos o ponto
, mas ele fica sobre a aresta superior do triângulo (não no interior), pois em
o valor máximo de
é 1. Logo não há ponto crítico no interior.
Passo 3
Ainda em (a), analisamos a fronteira dividindo-a em três arestas:
- Aresta de
a , com , , . daí
com extremo interno em
- Aresta de
que só tem crítico em
(extremo da aresta) e nos fimmas:
e
.
- Aresta vertical de
a , com , , , então , variando de a .
Passo 4
Comparando todos os valores em (a), o máximo absoluto é
(em
e
) e o mínimo absoluto é
(em
).
Passo 5
Para (b), o gradiente é
. Igualando a zero só dá
, com
.
Passo 6
Na fronteira de (b) temos
. Observe que
e
varia entre
e
. Assim o menor valor ocorre em
com
, e o maior em
com
. Pontos como
dão
.
Resposta
(a) Máximo absoluto: 2 em (2,0) e (0,2); Mínimo absoluto: –2 em (0,–2).
(b) Máximo absoluto: 2 em (1,0); Mínimo absoluto: –2 em (–1,0).
(b) Máximo absoluto: 2 em (1,0); Mínimo absoluto: –2 em (–1,0).