Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
(a) f(x, y)=x+y-x y, D é a região triangular fechada com vértices (2,0),(0,2) e (0,-2);
(b) f(x, y)=2 x^3+y^4, D=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Estamos buscando os extremos absolutos de funções de duas variáveis em conjuntos fechados: na parte (a) queremos os valores máximo e mínimo de f(x,y)=x+y-xy no triângulo fechado com vértices (2,0), (0,2) e (0,-2); na parte (b) queremos os extremos de f(x,y)=2x^3+y^4 no disco unitário x^2+y^2<=1. Para isso usamos que, em domínios compactos, extremos absolutos ocorrem em pontos críticos (onde nabla f=0) ou na fronteira.

Passo 2

Para (a), calculamos as derivadas parciais: fx=1-y e fy=1-x. Igualando a zero obtemos o ponto (1,1), mas ele fica sobre a aresta superior do triângulo (não no interior), pois em x=1 o valor máximo de y é 1. Logo não há ponto crítico no interior.

Passo 3

Ainda em (a), analisamos a fronteira dividindo-a em três arestas:
  • Aresta de (0,2) a (2,0), com x=t, y=2-t, 0<= t<=2. daí
f(t)=t+(2-t)-t(2-t)=t^2-2t+2,
com extremo interno em t=1 dando f=1, e nos extremos t=0,2 temos f=2.
- Aresta de (0,-2) a (2,0), com x=t, y=-2+t, 0<= t<=2. daí
f(t)=t+(-2+t)-t(-2+t)=-t^2+4t-2,
que só tem crítico em t=2 (extremo da aresta) e nos fimmas: f(0)=-2 e f(2)=2.
  • Aresta vertical de (0,-2) a (0,2), com x=0, y=s, -2<= s<=2, então f(s)=s, variando de -2 a 2.

Passo 4

Comparando todos os valores em (a), o máximo absoluto é 2 (em (2,0) e (0,2)) e o mínimo absoluto é -2 (em (0,-2)).

Passo 5

Para (b), o gradiente é nabla f=(6x^2,4y^3). Igualando a zero só dá (0,0), com f(0,0)=0.

Passo 6

Na fronteira de (b) temos x^2+y^2=1. Observe que y^4>=0 e 2x^3 varia entre -2 e 2. Assim o menor valor ocorre em x=-1,y=0 com f=-2, e o maior em x=1,y=0 com f=2. Pontos como (0,±1) dão f=1<2.

Resposta

(a) Máximo absoluto: 2 em (2,0) e (0,2); Mínimo absoluto: –2 em (0,–2).
(b) Máximo absoluto: 2 em (1,0); Mínimo absoluto: –2 em (–1,0).

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