Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
(a)
;
(b)
;
©
e
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Neste exercício, vamos estudar funções de duas variáveis e determinar seus pontos críticos (resolvendo
) e, em seguida, classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela usando o determinante da matriz Hessiana.
Passo 2
Para a função
: calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos
No ponto
,
e o determinante
, logo é ponto de sela. Nos pontos
,
e
, portanto máximos locais.
Passo 3
Para
:
Da condição
Passo 4
Para
em
:
As equações e
geram dois tipos de soluções interiores:
As equações
-
⇒ . Aqui . - uma das seno/cosseno nulas leva a pontos onde
: os únicos interiores são , e .
A análise do Hessiano mostra que emhá extremos ( máximos quando sinais iguais, mínimos quando sinais opostos) e em todos os pontos com o determinante da Hessiana é negativo ou nulo com teste de variações indicando pontos de sela.
Resposta
(a) Máximos locais em (1,0) e (–1,0) com valor f=3; ponto de sela em (0,0).
(b) Mínimo local em (0,0) com valor f=0; ponto de sela em (2,0).
© Máximos locais em (π/2,π/2) e (–π/2,–π/2) com f=1; mínimos locais em (π/2,–π/2) e (–π/2,π/2) com f=–1; pontos de sela em (0,0), (±π/2,0) e (0,±π/2).
(b) Mínimo local em (0,0) com valor f=0; ponto de sela em (2,0).
© Máximos locais em (π/2,π/2) e (–π/2,–π/2) com f=1; mínimos locais em (π/2,–π/2) e (–π/2,π/2) com f=–1; pontos de sela em (0,0), (±π/2,0) e (0,±π/2).