Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
(a) f(x, y)=2-x^4+2 x^2-y^2;
(b) f(x, y)=(x^2+y^2) e^-x;
© f(x, y)=sen(x) sen(y), com-pi <= x <= pi e -pi <= y <= pi.

Passo 1

Neste exercício, vamos estudar funções de duas variáveis e determinar seus pontos críticos (resolvendo nabla f=0) e, em seguida, classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela usando o determinante da matriz Hessiana.

Passo 2

Para a função f(x,y)=2 - x^4 + 2x^2 - y^2: calculamos as derivadas parciais:
fx = -4x^3 + 4x = -4x(x^2-1), fy = -2y
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos (x,y)=(0,0) e (pm1,0). A Hessiana tem entradas
fxx = -12x^2+4, fyy=-2, fxy=0
No ponto (0,0), fxx=4 e o determinante D=4cdot(-2)<0, logo é ponto de sela. Nos pontos (pm1,0), fxx=-8<0 e D=(-8)cdot(-2)>0, portanto máximos locais.

Passo 3

Para f(x,y)=(x^2+y^2)e^-x:
fx = e^-xl(2x-(x^2+y^2)r), fy = 2y e^-x
Da condição fy=0 vem y=0. Então fx=0 x^2=y^2+2x, isto é (x-1)^2+y^2=1, cuja interseção com y=0 é x=0 e x=2. Nos pontos críticos (0,0) e (2,0) calculamos a Hessiana e achamos que em (0,0) temos fxx>0 e determinante positivo ⇒ mínimo local, e em (2,0) o determinante fica negativo ⇒ ponto de sela.

Passo 4

Para f(x,y)=sin xsin y em [-pi,pi]^2:
As equações fx=cos xsin y=0 e fy=sin xcos y=0 geram dois tipos de soluções interiores:
  1. cos x=0,cos y=0 x=pmtfracpi2,;y=pmtfracpi2. Aqui f=pm1.
  2. uma das seno/cosseno nulas leva a pontos onde f=0: os únicos interiores são (0,0), (pmtfracpi2,0) e (0,pmtfracpi2).
    A análise do Hessiano mostra que em (pmtfracpi2,pmtfracpi2) há extremos ( f=1 máximos quando sinais iguais, f=-1 mínimos quando sinais opostos) e em todos os pontos com f=0 o determinante da Hessiana é negativo ou nulo com teste de variações indicando pontos de sela.

Resposta

(a) Máximos locais em (1,0) e (–1,0) com valor f=3; ponto de sela em (0,0).
(b) Mínimo local em (0,0) com valor f=0; ponto de sela em (2,0).
© Máximos locais em (π/2,π/2) e (–π/2,–π/2) com f=1; mínimos locais em (π/2,–π/2) e (–π/2,π/2) com f=–1; pontos de sela em (0,0), (±π/2,0) e (0,±π/2).

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