Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
(a) f(x)=cc(x^2+x) cos 1x & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0
(b) f(x)=ccx^3-xraizx-1 & , se x>1 1 & , se x <= 1 x0=1
© f(x)=clx^2+sen x & , se x>0 x^5+4 x^3 & , se x<0 0 & , se x=0 x0=0
(d) f(x)=cl45 x^5, & , se x>1 x^4 & , se x <= 1 x0=1
(e) f(x)=clx sen 1x & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0
(f) f(x)=ccx^2 sen 1x & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0
(g) f(x)=ccsen xx & , se x neq 0 1 & , se x=0
x0=0 (obs: cos x, para todo x in] -pi2, pi2[backslash0 )
(h) f(x)=clsen(x^2)raizx^2+x^4 & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0
(i) f(x)=|sen x|, x0=0
j) f(x)=|sen(x^5)|, x0=0
k) f(x)=cos (raiz|x|), x0=0
Resp.: são contínuas em x0 : (a), ©, (e), (f), (g), (h), (i), (j ), (k); são deriváveis em x0 : (f ), (g), (j).

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa verificar se cada função definida por partes é contínua e derivável no ponto indicado. O conteúdo envolvido é continuidade (isto é, verificar se limxto x0f(x)=f(x0)) e derivabilidade (verificar se limhto0f(x0+h)-f(x0)h existe). Vamos usar limites laterais e a definição clássica.

Passo 2

Para (a) temos
f(x)=(x^2+x)cos1x,&xneq00,&x=0, x0=0
O limite
limxto0(x^2+x)cos1x=0
é igual a f(0)=0, então é contínua. Para a derivada:
f(h)-f(0)h=(h^2+h)cos1hh=(h+1)cos1h
Como cos1h oscila sem limite quando hto0, não existe f'(0). Logo, não é derivável.

Passo 3

Para (b) temos
f(x)=x^3-xraizx-1,&x>11,&x<=1, x0=1
Note que para xto1^+
x^3-xraizx-1=x(x^2-1)raizx-1=x(x+1)raizx-1to0,
mas f(1)=1, então limxto1f(x)neq f(1). Não é contínua, logo também não é derivável.

Passo 4

Para © temos
f(x)=x^2+senx,&x>0x^5+4x^3,&x<00,&x=0, x0=0
Calculando limites:
limxto0^+(x^2+senx)=0, limxto0^-(x^5+4x^3)=0,
que coincidem com f(0)=0, logo é contínua. Para a derivada:
f'+(0)=limxto0^+x^2+senxx=limxto0^+(x+tfracsenxx)=0+1=1,
f'-(0)=limxto0^-x^5+4x^3x=limxto0^-(x^4+4x^2)=0+0=0
Como as derivadas laterais não coincidem, não é derivável.

Passo 5

Para (d) temos
f(x)=tfrac45x^5,&x>1x^4,&x<=1, x0=1
O limite à direita em 1 é tfrac45neq f(1)=1, então não é contínua e nem derivável.

Passo 6

Para (e) temos
f(x)=xsentfrac1x,&xneq00,&x=0, x0=0
Como |xsentfrac1x|<=|x|to0, a função é contínua. Porém
f(h)-f(0)h=hsentfrac1hh=sentfrac1h
não tem limite quando hto0, então não é derivável.

Passo 7

Para (f) temos
f(x)=x^2sentfrac1x,&xneq00,&x=0, x0=0
Como |x^2sentfrac1x|<= x^2to0, é contínua. Além disso
f(h)-f(0)h=h^2sentfrac1hh=hsentfrac1hto0
quando hto0, logo existe f'(0)=0 e é derivável.

Passo 8

Para (g) temos
f(x)=senxx,&xneq01,&x=0, x0=0
Sabemos que limxto0senxx=1=f(0), então é contínua. Para a derivada:
f'(0)=limhto0senhh-1h=limhto0senh-hh^2=-tfrac16,
portanto é derivável.

Passo 9

Para (h) temos
f(x)=sen(x^2)raizx^2+x^4,&xneq00,&x=0, x0=0
Como
|sen(x^2)|raizx^2+x^4<=x^2|x|raiz1+x^2=|x|to0,
é contínua. Mas
f(h)h=sen(h^2)hraizh^2+h^4
vai para +1 quando hto0^+ e -1 quando hto0^-, logo não é derivável.

Passo 10

Para (i) temos f(x)=|senx| em x0=0. Perto de zero |senx|approx|x|, então é contínua. As derivadas laterais são
f'+(0)=cos0=1, f'-(0)=-cos0=-1,
logo não existe derivada em zero.

Passo 11

Para (j) temos f(x)=|sen(x^5)| em x0=0. Perto de zero |sen(x^5)|approx|x^5|, então é contínua. E
f'+(0)=limxto0^+x^5x=limxto0^+x^4=0, f'-(0)=limxto0^--x^5x=limxto0^--x^4=0,
coincidem, então é derivável.

Passo 12

Para (k) temos f(x)=cos(raiz|x|) em x0=0. Como raiz|x|to0 cos(raiz|x|)to1, é contínua. Já
f'(0)=limhto0cos(raiz|h|)-1happroxlimhto0-tfrac|h|2h=-tfrac12,&h>0+tfrac12,&h<0
não existe, logo não é derivável.

Resposta

Contínuas em x₀: (a), ©, (e), (f), (g), (h), (i), (j), (k); Deriváveis em x₀: (f), (g), (j).

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