Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(a)
(b)
©
(d)
f(x)=cl45 x^5, & , se x>1 x^4 & , se x <= 1 x0=1
(e)
f(x)=clx sen 1x & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0
(f)
f(x)=ccx^2 sen 1x & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0
(g)
f(x)=ccsen xx & , se x neq 0 1 & , se x=0
x0=0 (obs:
cos x , para todo
x in] -pi2, pi2[backslash0 )
(h)
f(x)=clsen(x^2)raizx^2+x^4 & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0
(i)
f(x)=|sen x|, x0=0
j)
f(x)=|sen(x^5)|, x0=0
k)
f(x)=cos (raiz|x|), x0=0
Resp.: são contínuas em
x0 : (a), ©, (e), (f), (g), (h), (i), (j
), (k) ; são deriváveis em
x0 : (f
), (g), (j) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
j)
k)
Resp.: são contínuas em
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa verificar se cada função definida por partes é contínua e derivável no ponto indicado. O conteúdo envolvido é continuidade (isto é, verificar se
limxto x0f(x)=f(x0) ) e derivabilidade (verificar se
limhto0f(x0+h)-f(x0)h existe). Vamos usar limites laterais e a definição clássica.
Passo 2
Para (a) temos
O limite
é igual a
f(0)=0 , então é contínua. Para a derivada:
Como
cos1h oscila sem limite quando
hto0 , não existe
f'(0) . Logo, não é derivável.
Passo 3
Para (b) temos
Note que para
xto1^+
mas
f(1)=1 , então
limxto1f(x)neq f(1) . Não é contínua, logo também não é derivável.
Passo 4
Para © temos
Calculando limites:
que coincidem com
f(0)=0 , logo é contínua. Para a derivada:
Como as derivadas laterais não coincidem, não é derivável.
Passo 5
Para (d) temos
O limite à direita em
1 é
tfrac45neq f(1)=1 , então não é contínua e nem derivável.
Passo 6
Para (e) temos
Como
|xsentfrac1x|<=|x|to0 , a função é contínua. Porém
não tem limite quando
hto0 , então não é derivável.
Passo 7
Para (f) temos
Como
|x^2sentfrac1x|<= x^2to0 , é contínua. Além disso
quando
hto0 , logo existe
f'(0)=0 e é derivável.
Passo 8
Para (g) temos
Sabemos que
limxto0senxx=1=f(0) , então é contínua. Para a derivada:
portanto é derivável.
Passo 9
Para (h) temos
Como
é contínua. Mas
vai para
+1 quando
hto0^+ e
-1 quando
hto0^- , logo não é derivável.
Passo 10
Para (i) temos
f(x)=|senx| em
x0=0 . Perto de zero
|senx|approx|x| , então é contínua. As derivadas laterais são
logo não existe derivada em zero.
Passo 11
Para (j) temos
f(x)=|sen(x^5)| em
x0=0 . Perto de zero
|sen(x^5)|approx|x^5| , então é contínua. E
coincidem, então é derivável.
Passo 12
Para (k) temos
f(x)=cos(raiz|x|) em
x0=0 . Como
raiz|x|to0 dá
cos(raiz|x|)to1 , é contínua. Já
não existe, logo não é derivável.
Resposta
Contínuas em x₀: (a), ©, (e), (f), (g), (h), (i), (j), (k); Deriváveis em x₀: (f), (g), (j).