Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
,
Passo 1
A questão pede pra achar os extremos absolutos da função
no conjunto compacto
. O conteúdo envolve otimização de funções de duas variáveis: a gente vai usar o teste de pontos críticos no interior (gradiente zero) e depois checar a fronteira (aresta por aresta do losango).
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de
e igualar a zero para achar pontos críticos internos. O gradiente é
Igualando a zero, temos
que leva a
e
. A única solução é
, ponto interior.
Passo 3
Como
é compacto e
contínua, os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos internos ou na fronteira
. No ponto crítico
, temos
Esse é um candidato a mínimo.
Passo 4
Agora vamos checar a fronteira
. Ela é composta por quatro arestas lineares. Por exemplo, na aresta em que
vale
,
. Substituindo:
que em
tem valor mínimo
em
e valor máximo
em
. Fazendo análise análoga nas outras três arestas, a gente encontra:
- Nos vértices
e : . - Nos vértices
e : . - Nos pontos internos das arestas, valores intermediários (o menor foi
).
Passo 5
Comparando tudo: o menor valor que apareceu foi
em
, e o maior foi
nos pontos
e
. Assim a gente identifica o mínimo absoluto e o máximo absoluto.
Passo 6
Finalizando, o mínimo absoluto de
em
é
(em
) e o máximo absoluto é
(em
e
).
Resposta
Mínimo absoluto:
, atingido em
. Máximo absoluto:
, atingido em
e
.