Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2, D=(x, y) in R^2:|x|+|y| <= 1

Passo 1

A questão pede pra achar os extremos absolutos da função f(x,y)=x^2-2xy+2y^2 no conjunto compacto D=(x,y):|x|+|y|<=1. O conteúdo envolve otimização de funções de duas variáveis: a gente vai usar o teste de pontos críticos no interior (gradiente zero) e depois checar a fronteira (aresta por aresta do losango).

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f e igualar a zero para achar pontos críticos internos. O gradiente é
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(2x-2y,,-2x+4y)
Igualando a zero, temos
2x-2y=0, -2x+4y=0
que leva a x=y e x=2y. A única solução é x=y=0, ponto interior.

Passo 3

Como D é compacto e f contínua, os extremos absolutos ocorrem ou em pontos críticos internos ou na fronteira |x|+|y|=1. No ponto crítico (0,0), temos
f(0,0)=0
Esse é um candidato a mínimo.

Passo 4

Agora vamos checar a fronteira |x|+|y|=1. Ela é composta por quatro arestas lineares. Por exemplo, na aresta em que x>=0,y>=0 vale y=1-x, xin[0,1]. Substituindo:
f(x,1-x)=5x^2-6x+2,
que em [0,1] tem valor mínimo 0.2 em x=0.6 e valor máximo 2 em x=0. Fazendo análise análoga nas outras três arestas, a gente encontra:
  • Nos vértices (1,0) e (-1,0): f=1.
  • Nos vértices (0,1) e (0,-1): f=2.
  • Nos pontos internos das arestas, valores intermediários (o menor foi 0.2).

Passo 5

Comparando tudo: o menor valor que apareceu foi 0 em (0,0), e o maior foi 2 nos pontos (0,1) e (0,-1). Assim a gente identifica o mínimo absoluto e o máximo absoluto.

Passo 6

Finalizando, o mínimo absoluto de f em D é 0 (em (0,0)) e o máximo absoluto é 2 (em (0,1) e (0,-1)).

Resposta

Mínimo absoluto: 0, atingido em (0,0). Máximo absoluto: 2, atingido em (0,1) e (0,-1).

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