Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
f(x, y, z)=2 x+y-2 z ; x^2+y^2+z^2=4

Passo 1

O enunciado pede pra usar multiplicadores de Lagrange pra achar os extremos da função f(x,y,z)=2x+y-2z sob a restrição da esfera x^2+y^2+z^2=4. Vamos usar a teoria que diz que, em extremos sob restrição, o gradiente de f é paralelo ao gradiente da restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4=0.

Passo 2

Definimos o Lagrangeano L(x,y,z,lambda)=f(x,y,z)-lambda,g(x,y,z), isto é,
L(x,y,z,lambda)=2x+y-2z-lambdal(x^2+y^2+z^2-4r)

Passo 3

Calculamos as equações de primeira ordem exigindo nabla L=0:
partial Lpartial x=2-lambda,2x=0, partial Lpartial y=1-lambda,2y=0, partial Lpartial z=-2-lambda,2z=0, partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2+z^2-4)=0

Passo 4

Das três primeiras equações temos
2=2lambda xRightarrow x=1lambda,
1=2lambda yRightarrow y=12lambda,
-2=2lambda zRightarrow z=-1lambda

Passo 5

Agora a restrição exige x^2+y^2+z^2=4. Substituindo temos
l(tfrac1lambdar)^2+l(tfrac12lambdar)^2+l(-tfrac1lambdar)^2=4 Rightarrow 1lambda^2+14lambda^2+1lambda^2=4

Passo 6

Somando e simplificando:
2+tfrac14lambda^2=4 Rightarrow 94lambda^2=4 Rightarrow lambda^2=916 Rightarrow lambda=pm34

Passo 7

Para lambda=tfrac34 temos
x=1lambda=43, y=12lambda=23, z=-1lambda=-43

Passo 8

Para lambda=-tfrac34 obtemos os sinais invertidos:
x=-43, y=-23, z=43

Passo 9

Finalmente, avaliamos f nesses pontos:
fl(tfrac43,tfrac23,-tfrac43r)=2cdottfrac43+tfrac23-2l(-tfrac43r)=6,

Passo 10

fl(-tfrac43,-tfrac23,tfrac43r)=2cdotl(-tfrac43r)+l(-tfrac23r)-2l(tfrac43r)=-6

Resposta

O valor máximo de f é 6 e ocorre em l(tfrac43,tfrac23,-tfrac43r). O valor mínimo de f é -6 e ocorre em l(-tfrac43,-tfrac23,tfrac43r).

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