Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Passo 1
O enunciado pede pra usar multiplicadores de Lagrange pra achar os extremos da função sob a restrição da esfera . Vamos usar a teoria que diz que, em extremos sob restrição, o gradiente de é paralelo ao gradiente da restrição .
Passo 2
Definimos o Lagrangeano , isto é,
Passo 3
Calculamos as equações de primeira ordem exigindo :
Passo 4
Das três primeiras equações temos
2=2lambda xRightarrow x=1lambda,
1=2lambda yRightarrow y=12lambda,
-2=2lambda zRightarrow z=-1lambda
Passo 5
Agora a restrição exige x^2+y^2+z^2=4. Substituindo temos