Um projeto de engenharia exige a construção de um reservatório no formato de um paralelepípedo retangular fechado. O reservatório deve ter um volume total de 64 \mathrm{~m}^{3}. Determine as dimensões que minimizam a área superficial total do reservatório.
Passo 1
O enunciado dá um reservatório em forma de paralelepípedo retangular fechado e pede para determinar as dimensões que minimizam a área superficial total, sabendo que o volume deve ser 64\\ \mathrm{m}^3.
Informações relevantes fornecidas:
O reservatório é um paralelepípedo retangular fechado (ou seja: tem 6 faces).
O volume é 64\\ \mathrm{m}^3.
Pedido: encontrar as dimensões (as três arestas) que minimizam a área superficial total.
Passo 2
Definimos variáveis para as dimensões (comprimento, largura e altura): x, y e z, todas em metros, e todas positivas:
x>0,\qquad y>0,\qquad z>0.
Fórmulas básicas que vamos usar (explico cada uma):
A área superficial total S de um paralelepípedo retangular fechado é a soma das áreas das seis faces. Duas faces têm área xy, duas têm área xz e duas têm área yz. Logo
S=2(xy+xz+yz).
Aqui xy é a área da face com lados x e y, etc.
A condição do volume é
xyz=64,
pois o volume de um paralelepípedo é produto das três arestas.
Nosso objetivo é minimizar S sujeito à restrição xyz=64.
Passo 3
Escolha do método: uma forma direta e elemental é usar a restrição para eliminar uma variável (por exemplo z) e reduzir o problema a uma função de duas variáveis S(x,y), depois usar cálculo (derivadas parciais) para encontrar o mínimo. Isso evita ferramentas mais avançadas e é suficiente aqui.
Usando a restrição, isolamos z:
z=\frac{64}{xy}.
Substituímos em S para obter S em função de x e y apenas.
Como D>0 e \dfrac{\partial^2 S}{\partial x^2}\big|_{4}>0, o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, pela forma da expressão de S (os termos \dfrac{64}{x} e \dfrac{64}{y} explodem quando x ou y tendem a zero e S\to\infty quando x ou y\to\infty mantendo volume fixo), este mínimo local é o mínimo global no domínio x>0,y>0.
Portanto a solução encontrada é a que minimiza a área superficial total.