Um projeto de engenharia exige a construção de um reservatório no formato de um paralelepípedo retangular fechado. O reservatório deve ter um volume total de 64 \mathrm{~m}^{3}. Determine as dimensões que minimizam a área superficial total do reservatório.

Passo 1

O enunciado dá um reservatório em forma de paralelepípedo retangular fechado e pede para determinar as dimensões que minimizam a área superficial total, sabendo que o volume deve ser 64\\ \mathrm{m}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • O reservatório é um paralelepípedo retangular fechado (ou seja: tem 6 faces).
  • O volume é 64\\ \mathrm{m}^3.
  • Pedido: encontrar as dimensões (as três arestas) que minimizam a área superficial total.

Passo 2

Definimos variáveis para as dimensões (comprimento, largura e altura):
x, y e z, todas em metros, e todas positivas:
x>0,\qquad y>0,\qquad z>0.
Fórmulas básicas que vamos usar (explico cada uma):
  • A área superficial total S de um paralelepípedo retangular fechado é a soma das áreas das seis faces. Duas faces têm área xy, duas têm área xz e duas têm área yz. Logo
S=2(xy+xz+yz).
Aqui xy é a área da face com lados x e y, etc.
  • A condição do volume é
xyz=64,
pois o volume de um paralelepípedo é produto das três arestas.
Nosso objetivo é minimizar S sujeito à restrição xyz=64.

Passo 3

Escolha do método: uma forma direta e elemental é usar a restrição para eliminar uma variável (por exemplo z) e reduzir o problema a uma função de duas variáveis S(x,y), depois usar cálculo (derivadas parciais) para encontrar o mínimo. Isso evita ferramentas mais avançadas e é suficiente aqui.
Usando a restrição, isolamos z:
z=\frac{64}{xy}.
Substituímos em S para obter S em função de x e y apenas.

Passo 4

Substituindo z em S=2(xy+xz+yz):
S(x,y)=2\!\left(xy + x\cdot\frac{64}{xy} + y\cdot\frac{64}{xy}\right).
Simplificando os termos x\cdot\frac{64}{xy}=\frac{64}{y} e y\cdot\frac{64}{xy}=\frac{64}{x}, obtemos
S(x,y)=2\!\left(xy+\frac{64}{x}+\frac{64}{y}\right).
Observação sobre domínio: x>0 e y>0.

Passo 5

Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para encontrar pontos críticos.
Derivada parcial de S em relação a x:
\frac{\partial S}{\partial x}=2\!\left(\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial x}\frac{64}{x}+\frac{\partial}{\partial x}\frac{64}{y}\right) =2\!\left(y-\frac{64}{x^2}+0\right) =2\!\left(y-\frac{64}{x^2}\right).
Igualando a zero:
y-\frac{64}{x^2}=0\qquad\Rightarrow\qquad y=\frac{64}{x^2}.
Derivada parcial de S em relação a y:
\frac{\partial S}{\partial y}=2\!\left(x-\frac{64}{y^2}\right).
Igualando a zero:
x-\frac{64}{y^2}=0\qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{64}{y^2}.
Portanto o sistema de equações críticas é
y=\frac{64}{x^2},\qquad x=\frac{64}{y^2}.

Passo 6

Resolvendo o sistema. Substituímos uma equação na outra. Por exemplo, substituindo y=\dfrac{64}{x^2} na segunda equação:
x=\frac{64}{\left(\dfrac{64}{x^2}\right)^2} = \frac{64}{\dfrac{4096}{x^4}} =64\cdot\frac{x^4}{4096} =\frac{x^4}{64}.
Isto leva a
x=\frac{x^4}{64}.
Como x>0, dividimos por x e obtemos
1=\frac{x^3}{64}\qquad\Rightarrow\qquad x^3=64.
Logo
x=4\\ \mathrm{m}.
Usando y=\dfrac{64}{x^2} obtemos
y=\frac{64}{4^2}=\frac{64}{16}=4\\ \mathrm{m}.
E usando a restrição do volume z=\dfrac{64}{xy}:
z=\frac{64}{4\cdot4}=\frac{64}{16}=4\\ \mathrm{m}.
Assim o ponto crítico é x=y=z=4\\ \mathrm{m} (um cubo de aresta 4\\ \mathrm{m}).

Passo 7

Verificação de que é mínimo (confirmação): podemos checar o tipo do ponto crítico pelo Hessiano das derivadas parciais de S(x,y).
Cálculo das segundas derivadas:
\frac{\partial^2 S}{\partial x^2}=2\cdot\frac{128}{x^3}=\frac{256}{x^3},\qquad \frac{\partial^2 S}{\partial y^2}=\frac{256}{y^3},\qquad \frac{\partial^2 S}{\partial x\partial y}=2.
Avaliado em x=y=4:
\frac{\partial^2 S}{\partial x^2}\Big|_{4}=\frac{256}{64}=4,\qquad \frac{\partial^2 S}{\partial y^2}\Big|_{4}=4,\qquad \frac{\partial^2 S}{\partial x\partial y}\Big|_{4}=2.
Determinante do Hessiano:
D = \frac{\partial^2 S}{\partial x^2}\frac{\partial^2 S}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 S}{\partial x\partial y}\right)^2 =4\cdot4-2^2=16-4=12>0.
Como D>0 e \dfrac{\partial^2 S}{\partial x^2}\big|_{4}>0, o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, pela forma da expressão de S (os termos \dfrac{64}{x} e \dfrac{64}{y} explodem quando x ou y tendem a zero e S\to\infty quando x ou y\to\infty mantendo volume fixo), este mínimo local é o mínimo global no domínio x>0,y>0.
Portanto a solução encontrada é a que minimiza a área superficial total.

Resposta

\;4\\ \mathrm{m}\times4\\ \mathrm{m}\times4\\ \mathrm{m}

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