Uma placa metálica circular ocupa a região
. A temperatura em cada ponto
da placa é dada pela função
. Determine as temperaturas máxima e mínima absolutas atingidas nesta placa.
Passo 1
O enunciado dá:
- A placa é a região do plano definida por
(um disco de raio com centro em ). - A temperatura em cada ponto
é dada por
O que se pede:
- Determinar a temperatura mínima absoluta atingida na placa.
- Determinar a temperatura máxima absoluta atingida na placa.
Informações úteis que já extraí do enunciado:
- O domínio é compacto (disco fechado e limitado), logo uma função contínua atinge máximo e mínimo absolutos nesse domínio.
- A função
é uma função polinomial (contínua e diferenciável), então podemos procurar extremos internos por pontos críticos e depois verificar a fronteira (o círculo ).
Passo 2
Encontrar pontos críticos no interior do disco. Para isso vou calcular o gradiente de
e igualá-lo a zero: o gradiente reúne as derivadas parciais que indicam onde a função tem variação nula em todas as direções.
A derivada parcial de
em relação a
é
A derivada parcial de
em relação a
é
O sistema para pontos críticos é
Resolvendo:
Passo 3
Verificar se o ponto crítico
está dentro do disco. Calculo
, logo
pertence ao domínio (é um ponto interior).
Agora calcular o valor de
nesse ponto:
Explicação teórica curta sobre por que esse ponto dá mínimo local (útil na prova): a parte quadrática de
é
, que corresponde à matriz Hessiana
que é definida positiva (autovalores
). Para uma função de duas variáveis, Hessiana definida positiva no ponto crítico implica mínimo local. Como
é uma parábola quadrática “para cima” no plano, esse mínimo local é, na verdade, o mínimo global na reta inteira; mas como nosso domínio é limitado, é suficiente para garantir que
é o menor valor possível dentro do disco, a menos que a fronteira apresente valor ainda menor — por isso vamos checar a fronteira.]
Passo 4
Agora examinar a fronteira do disco, a circunferência
. Como o domínio é compacto, máximos e mínimos absolutos ocorrem ou em pontos críticos interiores ou na fronteira; já temos o candidato interior
com valor
.
Parametrizo a fronteira usando coordenadas polares:
Substituindo em
:
Como
, obtemos a função de uma variável
Passo 5
Encontrar máximos e mínimos de
. Sabendo que
varia entre
e
:
-
é máximo quando é mínimo, isto é . Então
ocorre para
, ou seja
, que corresponde ao ponto
ou seja o ponto
na fronteira.
-
é mínimo na fronteira quando . Então
ocorre para
, correspondente ao ponto
.
Passo 6
Comparar os candidatos:
- Valor no ponto crítico interior
: . - Valores na fronteira: mínimo na fronteira
(em ), máximo na fronteira (em ).
Comparando numéricamente:
. Portanto o menor valor absoluto na placa é
(no interior em
) e o maior valor absoluto é
(na fronteira em
).
Resposta
Temperatura mínima absoluta:
em
.
Temperatura máxima absoluta: em
.
Temperatura máxima absoluta: