Uma placa metálica circular ocupa a região x^{2}+y^{2} \leq 25. A temperatura em cada ponto (x, y) da placa é dada pela função T(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x. Determine as temperaturas máxima e mínima absolutas atingidas nesta placa.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A placa é a região do plano definida por \,x^{2}+y^{2}\le 25\, (um disco de raio 5 com centro em (0,0)).
  • A temperatura em cada ponto (x,y) é dada por \;T(x,y)=x^{2}+y^{2}-6x\;.
O que se pede:
  • Determinar a temperatura mínima absoluta atingida na placa.
  • Determinar a temperatura máxima absoluta atingida na placa.
Informações úteis que já extraí do enunciado:
  • O domínio é compacto (disco fechado e limitado), logo uma função contínua atinge máximo e mínimo absolutos nesse domínio.
  • A função T é uma função polinomial (contínua e diferenciável), então podemos procurar extremos internos por pontos críticos e depois verificar a fronteira (o círculo \,x^{2}+y^{2}=25).

Passo 2

Encontrar pontos críticos no interior do disco. Para isso vou calcular o gradiente de T e igualá-lo a zero: o gradiente reúne as derivadas parciais que indicam onde a função tem variação nula em todas as direções.
A derivada parcial de T em relação a x é
\frac{\partial T}{\partial x}=2x-6.
A derivada parcial de T em relação a y é
\frac{\partial T}{\partial y}=2y.
O sistema para pontos críticos é
\begin{cases} 2x-6=0,\\[4pt] 2y=0. \end{cases}
Resolvendo:
x=3,\qquad y=0.]

Passo 3

Verificar se o ponto crítico (3,0) está dentro do disco. Calculo 3^{2}+0^{2}=9\le 25, logo (3,0) pertence ao domínio (é um ponto interior).
Agora calcular o valor de T nesse ponto:
T(3,0)=3^{2}+0^{2}-6\cdot 3=9-18=-9.
Explicação teórica curta sobre por que esse ponto dá mínimo local (útil na prova): a parte quadrática de T é x^{2}+y^{2}, que corresponde à matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
que é definida positiva (autovalores 2>0). Para uma função de duas variáveis, Hessiana definida positiva no ponto crítico implica mínimo local. Como T é uma parábola quadrática “para cima” no plano, esse mínimo local é, na verdade, o mínimo global na reta inteira; mas como nosso domínio é limitado, é suficiente para garantir que T(3,0)=-9 é o menor valor possível dentro do disco, a menos que a fronteira apresente valor ainda menor — por isso vamos checar a fronteira.]

Passo 4

Agora examinar a fronteira do disco, a circunferência \,x^{2}+y^{2}=25. Como o domínio é compacto, máximos e mínimos absolutos ocorrem ou em pontos críticos interiores ou na fronteira; já temos o candidato interior (3,0) com valor -9.
Parametrizo a fronteira usando coordenadas polares:
x=5\cos\theta,\qquad y=5\sin\theta,\qquad \theta\in[0,2\pi).
Substituindo em T:
T(5\cos\theta,5\sin\theta)= (5\cos\theta)^{2}+(5\sin\theta)^{2}-6(5\cos\theta).
Como (5\cos\theta)^{2}+(5\sin\theta)^{2}=25, obtemos a função de uma variável
T_{\text{b}}(\theta)=25-30\cos\theta.

Passo 5

Encontrar máximos e mínimos de T_{\text{b}}(\theta)=25-30\cos\theta. Sabendo que \cos\theta varia entre -1 e 1:
  • T_{\text{b}} é máximo quando \cos\theta é mínimo, isto é \cos\theta=-1. Então
T_{\text{b,max}}=25-30(-1)=25+30=55,
ocorre para \cos\theta=-1, ou seja \theta=\pi, que corresponde ao ponto
x=5\cos\pi=-5,\qquad y=5\sin\pi=0,
ou seja o ponto (-5,0) na fronteira.
  • T_{\text{b}} é mínimo na fronteira quando \cos\theta=1. Então
T_{\text{b,min}}=25-30(1)=25-30=-5,
ocorre para \theta=0, correspondente ao ponto (5,0).

Passo 6

Comparar os candidatos:
  • Valor no ponto crítico interior (3,0): T(3,0)=-9.
  • Valores na fronteira: mínimo na fronteira -5 (em (5,0)), máximo na fronteira 55 (em (-5,0)).
Comparando numéricamente: -9 < -5 < 55. Portanto o menor valor absoluto na placa é -9 (no interior em (3,0)) e o maior valor absoluto é 55 (na fronteira em (-5,0)).

Resposta

Temperatura mínima absoluta: -9 em (3,0).
Temperatura máxima absoluta: 55 em (-5,0).

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