Determine os valores máximo e mínimo absolutos e os pontos onde eles ocorrem da função
no conjunto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x, y) = 4x + 6y - x^{2} - y^{2} $ no conjunto $ D = {(x, y) : |x + y| \leq 5 ; |x - y| \leq 5} $. Isso está relacionado a otimização de funções de duas variáveis, onde queremos descobrir os pontos onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro de uma região específica. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e também analisar as fronteiras do conjunto $ D $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Isso nos ajuda a identificar possíveis candidatos para máximos ou mínimos.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em $ (2, 3) $.
Passo 5
Vamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto $ D $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 3 $ nas restrições de $ D $:
Como ambos satisfazem as condições, o ponto $ (2, 3) $ está dentro de $ D $. Agora, calculamos o valor da função nesse ponto:
Passo 6
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar as fronteiras do conjunto $ D $. As fronteiras são dadas por:
Vamos analisar cada uma dessas condições separadamente.
Primeira Fronteira: $ x + y = 5 $
Expressamos $ y = 5 - x $ e substituímos na função:
Agora, para encontrar o máximo e mínimo dessa função em $ x $, derivamos e igualamos a zero:
Substituindo $ x = 2 $ na equação $ y = 5 - x $, temos $ y = 3 $. Já analisamos esse ponto anteriormente.
Segunda Fronteira: $ x - y = 5 $
Expressamos $ y = x - 5 $ e substituímos na função:
Derivando e igualando a zero:
Substituindo $ x = 5 $ em $ y = x - 5 $, temos $ y = 0 $. Calculamos o valor da função nesse ponto:
Resposta
O valor máximo absoluto da função é $ 13 $ no ponto $ (2, 3) $ e o valor mínimo absoluto é $ -5 $ no ponto $ (5, 0) $.