Determine os valores máximo e mínimo absolutos e os pontos onde eles ocorrem da função
f(x, y)=4 x+6 y-x^2-y^2
no conjunto
D=(x, y):|x+y| <= 5 ;|x-y| <= 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x, y) = 4x + 6y - x^{2} - y^{2} $ no conjunto $ D = {(x, y) : |x + y| \leq 5 ; |x - y| \leq 5} $. Isso está relacionado a otimização de funções de duas variáveis, onde queremos descobrir os pontos onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro de uma região específica. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e também analisar as fronteiras do conjunto $ D $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) $. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Isso nos ajuda a identificar possíveis candidatos para máximos ou mínimos.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 4 - 2x
partial fpartial y = 6 - 2y

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
4 - 2x = 0 Rightarrow x = 2
6 - 2y = 0 Rightarrow y = 3
Então, temos um ponto crítico em $ (2, 3) $.

Passo 5

Vamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto $ D $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 3 $ nas restrições de $ D $:
D
Como ambos satisfazem as condições, o ponto $ (2, 3) $ está dentro de $ D $. Agora, calculamos o valor da função nesse ponto:
x = 2

Passo 6

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar as fronteiras do conjunto $ D $. As fronteiras são dadas por:
D
Vamos analisar cada uma dessas condições separadamente.
Primeira Fronteira: $ x + y = 5 $
Expressamos $ y = 5 - x $ e substituímos na função:
|x + y| = 5 e |x - y| = 5
x + y = 5
y = 5 - x
f(x, 5 - x) = 4x + 6(5 - x) - x^2 - (5 - x)^2
Agora, para encontrar o máximo e mínimo dessa função em $ x $, derivamos e igualamos a zero:
= 4x + 30 - 6x - x^2 - (25 - 10x + x^2)
Substituindo $ x = 2 $ na equação $ y = 5 - x $, temos $ y = 3 $. Já analisamos esse ponto anteriormente.
Segunda Fronteira: $ x - y = 5 $
Expressamos $ y = x - 5 $ e substituímos na função:
= -2x + 30 - x^2 - 25 + 10x - x^2
= 8x + 5 - 2x^2
x
ddx(8x + 5 - 2x^2) = 8 - 4x = 0 Rightarrow x = 2
Derivando e igualando a zero:
x = 2
Substituindo $ x = 5 $ em $ y = x - 5 $, temos $ y = 0 $. Calculamos o valor da função nesse ponto:
y = 5 - x

Resposta

O valor máximo absoluto da função é $ 13 $ no ponto $ (2, 3) $ e o valor mínimo absoluto é $ -5 $ no ponto $ (5, 0) $.

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