(1,5 ponto) 5. Derive:
u(x)=cos (pi x^2)

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a derivada de uma função composta aplicando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas e a regra da cadeia, e precisaremos usar a derivada de cos(v) e a derivada de x^2.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna. Definimos v(x) = pi x^2 como função interna e f(v) = cos(v) como função externa, de modo que u(x) = f(v(x)).

Passo 3

Calculamos a derivada da função externa em relação a v. Sabemos que se f(v) = cos(v), então
f'(v) = -sin(v)
Calculamos a derivada da função interna em relação a x. Como v(x) = pi x^2, temos
v'(x) = 2pi x

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia: a derivada de u(x) é f'(v(x)) multiplicado por v'(x). Assim,
u'(x) = -sinl(pi x^2r) cdot 2pi x

Resposta

u'(x) = -2pi xsinl(pi x^2r)

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