Obter os coeficientes da série de Fourier de senos para as funções abaixo
f(x)=x^2 para 0

Passo 1

Aqui a gente quer a série de Fourier de senos de f(x)=x^2 no intervalo (0,pi). O conteúdo usado é série de Fourier de senos, e o que precisamos é calcular os coeficientes bn da forma f(x)=sumn=1^infty bnsin(nx).

Passo 2

O coeficiente de senos é dado por
bn=2piintegral0^pix^2sin(nx),dx,
então vamos chamar In=integral0^pix^2sin(nx),dx e encontrar In.

Passo 3

Para achar In fazemos integração por partes: escolhemos u=x^2 e dv=sin(nx),dx, daí du=2x,dx e v=-cos(nx)n. Aplicando partes obtemos
In=[-x^2cos(nx)n]0^pi+2nintegral0^pixcos(nx),dx
Chamamos Jn=integral0^pixcos(nx),dx.

Passo 4

Para calcular Jn fazemos outra integração por partes: u=x, dv=cos(nx),dx du=dx, v=sin(nx)n. Assim
Jn=[xsin(nx)n]0^pi-1nintegral0^pisin(nx),dx =0-1nl[-cos(nx)nr]0^pi =(-1)^n-1n^2

Passo 5

Voltando a In, substituímos Jn e avaliamos em 0 e pi:
In=-pi^2(-1)^nn+2ncdot(-1)^n-1n^2 =(-1)^n+1pi^2n+2(-1)^n-1n^3

Passo 6

Por fim, o coeficiente
bn=2piIn =2(-1)^n+1pin+4l((-1)^n-1r)pi n^3

Passo 7

Pronto! A expressão acima é o coeficiente de cada sin(nx) na série de Fourier de senos de x^2 em (0,pi).

Resposta

bn=dfrac2pi(-1)^n+1n+dfrac4l((-1)^n-1r)pi n^3

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