Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
, para
, das funções fornecidas abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular os coeficientes da série de Maclaurin para a função $ f(x) = 5^{x} $ nos termos de $ n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $. A série de Maclaurin é uma expansão de uma função em torno de $ x = 0 $ e os coeficientes são dados por:
Para encontrar esses coeficientes, precisamos derivar a função $ f(x) = 5^{x} $ várias vezes e avaliar essas derivadas em $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, encontramos a primeira derivada de $ f(x) = 5^{x} $. A regra para derivar uma função exponencial $ a^{x} $ é:
Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos à segunda derivada. Derivamos $ f’(x) $:
Passo 4
Continuando, a terceira derivada é:
Passo 5
Observando o padrão, a n-ésima derivada de $ f(x) = 5^{x} $ é:
Passo 6
Agora, avaliamos cada derivada em $ x = 0 $:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula dos coeficientes da série de Maclaurin:
Resposta
Os coeficientes da série de Maclaurin para $ f(x) = 5^{x} $ são: