Execute e apresente os cálculos de forma organizada, com o devido detalhamento e explicitando todas as derivadas utilizadas. Utilizando a séries de Maclaurin, escreva a forma dos coeficientes
an=f^(n)(0)n!, para n=0,1,2,3,4 e 5, das funções fornecidas abaixo:
f(x)=5^x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular os coeficientes da série de Maclaurin para a função $ f(x) = 5^{x} $ nos termos de $ n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $. A série de Maclaurin é uma expansão de uma função em torno de $ x = 0 $ e os coeficientes são dados por:
f(x) = 5^x
Para encontrar esses coeficientes, precisamos derivar a função $ f(x) = 5^{x} $ várias vezes e avaliar essas derivadas em $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, encontramos a primeira derivada de $ f(x) = 5^{x} $. A regra para derivar uma função exponencial $ a^{x} $ é:
f(x) = 5^x
Aplicando isso:
a^x

Passo 3

Agora, vamos à segunda derivada. Derivamos $ f’(x) $:
f'(x)

Passo 4

Continuando, a terceira derivada é:
f'''(x) = ddx [(ln(5))^2 cdot 5^x] = (ln(5))^2 cdot ddx 5^x = (ln(5))^3 cdot 5^x

Passo 5

Observando o padrão, a n-ésima derivada de $ f(x) = 5^{x} $ é:
f(x) = 5^x

Passo 6

Agora, avaliamos cada derivada em $ x = 0 $:
x = 0

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula dos coeficientes da série de Maclaurin:
an = f^(n)(0)n! = (ln(5))^nn!

Resposta

Os coeficientes da série de Maclaurin para $ f(x) = 5^{x} $ são:
f(x) = 5^x

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