Determine os valores máximo e mínimo da função
f(x, y)=x^4+y^4-4 x y+2
para 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
f(x,y)=x^4+y^4-4xy+2
no retângulo compacto definido por 0<= x<=3 e 0<= y<=2.
Para isso, vamos primeiro achar os pontos críticos na parte interior (onde nabla f=0), depois classificar esses pontos e em seguida estudar o comportamento de f nas quatro arestas, reduzindo a uma variável.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx=4x^3-4y, fy=4y^3-4x
Igualando a zero,
4x^3-4y=0implies y=x^3, 4y^3-4x=0implies x=y^3
Substituindo y=x^3 em x=y^3 x=(x^3)^3=x^9, logo
x(x^8-1)=0implies x=0ou x^8=1implies x=1
(no nosso domínio não há raiz negativa). Assim os candidatos são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Avaliando nesses pontos:
Para classificar, usamos a Hessiana
Em temos e , logo é mínimo local. Em , , é ponto de sela.

Passo 4

Agora as quatro arestas:
1. x=0,;yin[0,2]. Então
f(0,y)=y^4+2, mínimo em y=0Rightarrow f=2, máximo em y=2Rightarrow f=16+2=18 íá
2. y=0,;xin[0,3]. Então
f(x,0)=x^4+2, mínimo em x=0Rightarrow f=2, máximo em x=3Rightarrow f=81+2=83 íá
3. x=3,;yin[0,2]. Define-se
g(y)=f(3,y)=83 + y^4-12y
Fazendo g'(y)=4y^3-12=0implies y^3=3implies y=raiz[3]3approx1,442.
Avaliando:
g(0)=83, g(2)=16-24+83=75, g(raiz[3]3)approx4,326-17,304+83approx70,022
Logo mínimo approx70,022 em yapprox1,442, e máximo 83 em y=0.
4. y=2,;xin[0,3]. Define-se
h(x)=f(x,2)=18 + x^4-8x
Fazendo h'(x)=4x^3-8=0implies x^3=2implies x=raiz[3]2approx1,260.
Avaliando:
h(0)=18, h(3)=81-24+18=75, h(raiz[3]2)approx2,520-10,080+18approx10,440
Logo mínimo approx10,440, máximo 18.

Passo 5

Reunindo tudo temos:
  • Pontos críticos: f(1,1)=0 (mínimo local) e f(0,0)=2.
  • Valores nas arestas variam entre 2 e 83, sendo o maior 83 atingido em (3,0).
    Portanto, o valor mínimo global é
min f=0em (1,1),
e o máximo global é
max f=83em (3,0)

Resposta

Mínimo de f é 0 em (1,1).
Máximo de f é 83 em (3,0).

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