Determine os valores máximo e mínimo da função
para
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
no retângulo compacto definido por
e
.
Para isso, vamos primeiro achar os pontos críticos na parte interior (onde ), depois classificar esses pontos e em seguida estudar o comportamento de
nas quatro arestas, reduzindo a uma variável.
Para isso, vamos primeiro achar os pontos críticos na parte interior (onde
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero,
Substituindo
em
dá
, logo
(no nosso domínio não há raiz negativa). Assim os candidatos são
e
.
Passo 3
Avaliando
nesses pontos:
Para classificar, usamos a Hessiana
Em
temos
e
, logo é mínimo local. Em
,
, é ponto de sela.
Passo 4
Agora as quatro arestas:
Fazendo
.
Avaliando:
Avaliando:
Logo mínimo
em
, e máximo
em
.
Fazendo
.
Avaliando:
Avaliando:
Logo mínimo
, máximo
.
Passo 5
Reunindo tudo temos:
- Pontos críticos:
(mínimo local) e . - Valores nas arestas variam entre
e , sendo o maior atingido em .
Portanto, o valor mínimo global é
e o máximo global é
Resposta
Mínimo de
é
em
.
Máximo de é
em
.
Máximo de