Equação da onda
Use o método de separação de variáveis para resolver a equação da onda unidimensional:
partial^2 upartial t^2=c^2 partial^2 upartial x^2, 0<x<L, t>0
com condições de contorno:
u(0, t)=0, u(L, t)=0
e condições iniciais:
u(x, 0)=f(x), partial upartial t(x, 0)=0
Explique fisicamente como essas condições de contorno poderiam ser implementadas em um sistema físico real.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
partial^2upartial t^2 = c^2,partial^2upartial x^2, 0<x<L,;t>0
com as condições de contorno
u(0,t)=0, u(L,t)=0
e as condições iniciais
u(x,0)=f(x), partial upartial t(x,0)=0
O método indicado é separação de variáveis, típico de problemas de vibração de corda com extremidades fixas.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,t) = X(x),T(t)
Substituindo na PDE e dividindo por c^2X,T obtemos
1c^2T''(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

O ramo espacial satisfaz
X''(x) + lambda,X(x) = 0, X(0)=0,;X(L)=0
As soluções não-triviais exigem lambdan = l(tfracnpiLr)^2 e
Xn(x) = sin!l(tfracnpi xLr), n=1,2,3,dots

Passo 4

O ramo temporal vem de
T''(t) + lambda,c^2,T(t) = 0,
ou seja
Tn(t) = Ancos!l(tfracnpi c,tLr) + Bnsin!l(tfracnpi c,tLr)

Passo 5

A superposição geral é
u(x,t) = sumn=1^inftyl[Ancos!l(tfracnpi c,tLr) + Bnsin!l(tfracnpi c,tLr)r], sin!l(tfracnpi xLr)

Passo 6

Aplicando partial upartial t(x,0)=0 obtemos Bn=0 para todo n. Em seguida, de u(x,0)=f(x) segue a expansão em séries de senos
f(x)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpi xLr),
onde
An = 2Lintegral0^L f(xi), sin!l(tfracnpi xiLr),dxi

Passo 7

Logo a solução completa é
u(x,t) =sumn=1^infty [2Lintegral0^L f(xi), sin!l(tfracnpi xiLr),dxi] cos!l(tfracnpi c,tLr) sin!l(tfracnpi xLr)

Passo 8

Fisicamente, as condições u(0,t)=0 e u(L,t)=0 correspondem a fixar as duas extremidades de uma corda ou barra rígida em suportes imóveis. Em experimento real, basta prender as pontas em garras fixas ou soldar as extremidades numa estrutura imóvel para garantir deslocamento nulo nessas posições.

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty [2Lintegral0^L f(xi), sin!l(tfracnpi xiLr),dxi] cos!l(tfracnpi c,tLr) sin!l(tfracnpi xLr)

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