Equação da onda
Use o método de separação de variáveis para resolver a equação da onda unidimensional:
com condições de contorno:
e condições iniciais:
Explique fisicamente como essas condições de contorno poderiam ser implementadas em um sistema físico real.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
com as condições de contorno
e as condições iniciais
O método indicado é separação de variáveis, típico de problemas de vibração de corda com extremidades fixas.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo na PDE e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação.
Passo 3
O ramo espacial satisfaz
As soluções não-triviais exigem
e
Passo 4
O ramo temporal vem de
ou seja
Passo 5
A superposição geral é
Passo 6
Aplicando
obtemos
para todo
. Em seguida, de
segue a expansão em séries de senos
onde
Passo 7
Logo a solução completa é
Passo 8
Fisicamente, as condições
e
correspondem a fixar as duas extremidades de uma corda ou barra rígida em suportes imóveis. Em experimento real, basta prender as pontas em garras fixas ou soldar as extremidades numa estrutura imóvel para garantir deslocamento nulo nessas posições.