Verificação de solução
Verifique se as funções abaixo são soluções das respectivas equações diferenciais parciais (considere alpha, k e c constantes):
u(x, y)=cos (k x) e^-k y para a equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x,y)=cos(kx),e^-k y
é solução da equação de Laplace
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em x. Usando a regra da cadeia e que k é constante, temos
partial upartial x =partialpartial xl(cos(kx)r),e^-k y =-ksin(kx),e^-k y

Passo 3

Agora derivamos partial u/partial x em x de novo para obter partial^2u/partial x^2:
partial^2upartial x^2 =partialpartial xl(-ksin(kx),e^-k yr) =-k^2cos(kx),e^-k y

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em y. A parte cos(kx) é tratada como constante e derivamos e^-k y:
partial upartial y =cos(kx),partialpartial yl(e^-k yr) =-kcos(kx),e^-k y

Passo 5

Derivando partial u/partial y em y novamente, obtemos partial^2u/partial y^2:
partial^2upartial y^2 =partialpartial yl(-kcos(kx),e^-k yr) =k^2cos(kx),e^-k y

Passo 6

Somamos as derivadas de segunda ordem:
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2 =-k^2cos(kx),e^-k y+k^2cos(kx),e^-k y =0
Como a soma é zero, a equação de Laplace é satisfeita.

Resposta

A função u(x,y)=cos(kx),e^-k y é solução da equação de Laplace partial^2u/partial x^2+partial^2u/partial y^2=0.

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