Verificação de solução
Verifique se as funções abaixo são soluções das respectivas equações diferenciais parciais (considere
e
constantes):
para a equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é solução da equação de Laplace
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em
. Usando a regra da cadeia e que
é constante, temos
Passo 3
Agora derivamos
em
de novo para obter
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em
. A parte
é tratada como constante e derivamos
:
Passo 5
Derivando
em
novamente, obtemos
:
Passo 6
Somamos as derivadas de segunda ordem:
Como a soma é zero, a equação de Laplace é satisfeita.
Resposta
A função
é solução da equação de Laplace
.