Determine os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x+3 y restrito aos pontos da elipse x^2+2 y^2=22.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y) = x + 3y $ considerando que os pontos $ (x, y) $ estão numa elipse descrita por $ x^{2} + 2y^{2} = 22 $. Isso envolve um assunto chamado otimização com restrições, onde a gente quer otimizar uma função sujeita a uma condição específica, que nesse caso é a equação da elipse.

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos onde a função que queremos otimizar atinge seus extremos (máximos ou mínimos) dentro das restrições dadas.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar nossas funções:
  • A função que queremos otimizar é $ f(x, y) = x + 3y $.
  • A restrição é a elipse, que pode ser escrita como $ g(x, y) = x^{2} + 2y^{2} - 22 = 0 $.

Passo 4

Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, precisamos que o gradiente de $ f $ seja igual ao multiplicador de Lagrange $ \lambda $ vezes o gradiente de $ g $. Matematicamente, isso fica:
f

Passo 5

Vamos calcular os gradientes:
  • $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (1, 3) $
  • $ \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right) = (2x, 4y) $

Passo 6

Igualando os gradientes conforme a equação do Lagrange:
(1, 3) = lambda (2x, 4y)
Isso nos dá o sistema de equações:
1 = 2lambda x 3 = 4lambda y

Passo 7

Vamos resolver esse sistema para encontrar $ x $ e $ y $ em termos de $ \lambda $:
Da primeira equação:
x
Da segunda equação:
y

Passo 8

Agora, vamos substituir $ x $ e $ y $ na equação da elipse $ x^{2} + 2y^{2} = 22 $:
x

Passo 9

Resolvendo para $ \lambda^{2} $:
lambda^2
Agora, substituindo $ \lambda $ de volta nas expressões de $ x $ e $ y $:
Para $ \lambda = \frac{1}{4} $:
lambda^2 = 118 times 22 = 11176 = 116 lambda = pm 14
Para $ \lambda = -\frac{1}{4} $:
lambda

Resposta

Os valores extremos da função $ f(x, y) = x + 3y $ na elipse $ x^{2} + 2y^{2} = 22 $ são:
  • Máximo: $ 2 + 3 \times 3 = 11 $ no ponto $ (2, 3) $
  • Mínimo: $ -2 + 3 \times (-3) = -11 $ no ponto $ (-2, -3) $

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