Determine os valores máximo e mínimo da função
restrito aos pontos da elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y) = x + 3y $ considerando que os pontos $ (x, y) $ estão numa elipse descrita por $ x^{2} + 2y^{2} = 22 $. Isso envolve um assunto chamado otimização com restrições, onde a gente quer otimizar uma função sujeita a uma condição específica, que nesse caso é a equação da elipse.
Passo 2
Para resolver esse tipo de problema, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos onde a função que queremos otimizar atinge seus extremos (máximos ou mínimos) dentro das restrições dadas.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar nossas funções:
- A função que queremos otimizar é $ f(x, y) = x + 3y $.
- A restrição é a elipse, que pode ser escrita como $ g(x, y) = x^{2} + 2y^{2} - 22 = 0 $.
Passo 4
Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, precisamos que o gradiente de $ f $ seja igual ao multiplicador de Lagrange $ \lambda $ vezes o gradiente de $ g $. Matematicamente, isso fica:
Passo 5
Vamos calcular os gradientes:
- $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (1, 3) $
- $ \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right) = (2x, 4y) $
Passo 6
Igualando os gradientes conforme a equação do Lagrange:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ x $ e $ y $ em termos de $ \lambda $:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 8
Agora, vamos substituir $ x $ e $ y $ na equação da elipse $ x^{2} + 2y^{2} = 22 $:
Passo 9
Resolvendo para $ \lambda^{2} $:
Agora, substituindo $ \lambda $ de volta nas expressões de $ x $ e $ y $:
Para $ \lambda = \frac{1}{4} $:
Para $ \lambda = -\frac{1}{4} $:
Resposta
Os valores extremos da função $ f(x, y) = x + 3y $ na elipse $ x^{2} + 2y^{2} = 22 $ são:
- Máximo: $ 2 + 3 \times 3 = 11 $ no ponto $ (2, 3) $
- Mínimo: $ -2 + 3 \times (-3) = -11 $ no ponto $ (-2, -3) $