A direção que apresenta maior taxa de variação da função f(x, y)=x^3-2 x y-11 x ao passar pelo ponto (2,-1) é dada pelo vetor u=(35, 45).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber qual é a direção que mostra a maior taxa de variação da função $ f(x, y) = x^{3} - 2xy - 11x $ no ponto $ (2, -1) $. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção de maior aumento de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação da função naquele ponto. Matemáticamente, o gradiente é dado por:
f(x, y)
Ou seja, é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = x^{3} - 2xy - 11x $:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
f(x, y) = x^3 - 2xy - 11x
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
x
Então, o gradiente da função é:
partial fpartial x = 3x^2 - 2y - 11

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (2, -1) $:
  1. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = -1 $ na primeira componente:
(2, -1)
  1. Substituindo $ x = 2 $ na segunda componente:
x = 2
Portanto, o gradiente no ponto $ (2, -1) $ é:
y = -1

Passo 5

A direção de maior taxa de variação é dada pela direção do gradiente. Para encontrar um vetor unitário nessa direção (ou seja, com comprimento 1), vamos normalizar o gradiente $ (3, -4) $.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
(3, -4)
Agora, dividimos cada componente do gradiente pelo seu módulo para obter o vetor unitário:
| nabla f | = raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Note que o sinal do vetor indica a direção. Se quisermos a direção de maior aumento, mantemos o sinal positivo, então o vetor unitário é:
u = ( 35, -45 )

Resposta

A direção que apresenta a maior taxa de variação da função no ponto $ (2, -1) $ é dada pelo vetor unitário:
(2, -1)

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