A direção que apresenta maior taxa de variação da função
ao passar pelo ponto
é dada pelo vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber qual é a direção que mostra a maior taxa de variação da função $ f(x, y) = x^{3} - 2xy - 11x $ no ponto $ (2, -1) $. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção de maior aumento de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação da função naquele ponto. Matemáticamente, o gradiente é dado por:
Ou seja, é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = x^{3} - 2xy - 11x $:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
Então, o gradiente da função é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (2, -1) $:
- Substituindo $ x = 2 $ e $ y = -1 $ na primeira componente:
- Substituindo $ x = 2 $ na segunda componente:
Portanto, o gradiente no ponto $ (2, -1) $ é:
Passo 5
A direção de maior taxa de variação é dada pela direção do gradiente. Para encontrar um vetor unitário nessa direção (ou seja, com comprimento 1), vamos normalizar o gradiente $ (3, -4) $.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Agora, dividimos cada componente do gradiente pelo seu módulo para obter o vetor unitário:
Note que o sinal do vetor indica a direção. Se quisermos a direção de maior aumento, mantemos o sinal positivo, então o vetor unitário é:
Resposta
A direção que apresenta a maior taxa de variação da função no ponto $ (2, -1) $ é dada pelo vetor unitário: