Se
é um campo vetorial definido em um conjunto simplesmente conexo
e
, então podemos afirmar que
é independente do caminho de integração?
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
definido em um conjunto simplesmente conexo
. A condição dada é que
. A pergunta é: isso significa que o campo
é independente do caminho de integração? Ou seja, será que a integral de
entre dois pontos não depende do caminho que a gente escolhe? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e quais são as condições para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre campos vetoriais conservativos. Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja,
e
. Se um campo é conservativo, a integral de
entre dois pontos só depende dos valores de
nesses pontos, não do caminho escolhido entre eles. Isso significa que o campo é independente do caminho.
Passo 3
Agora, para que um campo vetorial seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, ele precisa satisfazer uma condição importante, conhecida como condição de igualdade das derivadas cruzadas:
. Essa condição garante que a função potencial
existe e que o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos comparar isso com a condição fornecida na questão:
. Note que na condição para ser conservativo, a derivada de
em relação a
deve ser igual à derivada de
em relação a
, ou seja,
. A condição dada na questão é diferente:
.
Passo 5
Como as condições são diferentes, a condição fornecida na questão não é a mesma que garante que o campo seja conservativo. Portanto, só ter
não é suficiente para afirmar que o campo
é independente do caminho de integração.
Resposta
b. Falso