Se F(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j é um campo vetorial definido em um conjunto simplesmente conexo Omega e partial Ppartial x=partial Qpartial y, então podemos afirmar que F é independente do caminho de integração?
Escolha uma opção:
a. Verdadeiro
b. Falso

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j definido em um conjunto simplesmente conexo Omega. A condição dada é que partial Ppartial x = partial Qpartial y. A pergunta é: isso significa que o campo F é independente do caminho de integração? Ou seja, será que a integral de F entre dois pontos não depende do caminho que a gente escolhe? Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e quais são as condições para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre campos vetoriais conservativos. Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que F = nabla f, ou seja, P = partial fpartial x e Q = partial fpartial y. Se um campo é conservativo, a integral de F entre dois pontos só depende dos valores de f nesses pontos, não do caminho escolhido entre eles. Isso significa que o campo é independente do caminho.

Passo 3

Agora, para que um campo vetorial seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, ele precisa satisfazer uma condição importante, conhecida como condição de igualdade das derivadas cruzadas: partial Qpartial x = partial Ppartial y. Essa condição garante que a função potencial f existe e que o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos comparar isso com a condição fornecida na questão: partial Ppartial x = partial Qpartial y. Note que na condição para ser conservativo, a derivada de Q em relação a x deve ser igual à derivada de P em relação a y, ou seja, partial Qpartial x = partial Ppartial y. A condição dada na questão é diferente: partial Ppartial x = partial Qpartial y.

Passo 5

Como as condições são diferentes, a condição fornecida na questão não é a mesma que garante que o campo seja conservativo. Portanto, só ter partial Ppartial x = partial Qpartial y não é suficiente para afirmar que o campo F é independente do caminho de integração.

Resposta

b. Falso

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