Marque ( V ) nos itens que considerar verdadeiros e ( F ) nos que considerar falsos.
) Existe uma função f: R^2 R tal que fx=y cos (x y)+2 x+y^2 e fy=x cos (x y)+x^2 y.
) Se f: R^2 R possui derivadas parciais em todos ós pontos, então f é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas afirmações e precisa marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). As afirmações envolvem funções de duas variáveis, derivadas parciais e continuidade. Para resolver, vamos precisar lembrar de conceitos como derivadas parciais, a condição de compatibilidade das derivadas (Teorema de Clairaut) e a relação entre derivadas parciais e continuidade da função.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmativa:
1) Existe uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ tal que $ f_{x}=y \cos (x y) + 2 x + y^{2} $ e $ f_{y}=x \cos (x y) + x^{2} y $.
Para saber se essa função existe, precisamos verificar se as derivadas parciais dadas são compatíveis. Isso significa que as derivadas mistas devem ser iguais, de acordo com o Teorema de Clairaut, que diz que se $ f $ tem derivadas parciais contínuas, então $ f_{xy} = f_{yx} $.
Vamos calcular $ f_{xy} $ e $ f_{yx} $:
Primeiro, derivamos $ f_x $ em relação a $ y $:
f: R^2 R
Agora, derivamos $ f_y $ em relação a $ x $:
fx=y cos (x y) + 2 x + y^2
Comparando $ f_{xy} $ e $ f_{yx} $:
fy=x cos (x y) + x^2 y
f
Percebe-se que $ f_{xy} $ e $ f_{yx} $ não são iguais a menos que $ y = x y $, o que não é geralmente verdadeiro. Portanto, as derivadas parciais não são compatíveis, o que significa que não existe uma função $ f $ que satisfaça as condições dadas.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmativa:
2) Se $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ possui derivadas parciais em todos os pontos, então $ f $ é contínua.
Essa afirmação está dizendo que se uma função tem derivadas parciais em todo lugar, ela é contínua. Na verdade, isso não é necessariamente verdade. Embora a existência de derivadas parciais seja uma condição importante, ela não garante que a função seja contínua em todos os pontos. Existem exemplos de funções que têm derivadas parciais em todos os pontos, mas que não são contínuas. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

  1. F
  2. F

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