Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
no conjunto
.
é a região triangular fechada com vértices
e
Passo 1
A questão pede para a gente achar os valores máximos e mínimos absolutos da função quadrática
num triângulo fechado
com vértices
,
e
. Como
é contínua e
é compacto, o extremo absoluto aparece ou em pontos críticos internos (onde
) ou nas fronteiras (as três arestas do triângulo).
Passo 2
Vamos achar o ponto crítico interno calculando o gradiente. Temos
.
Resolvendo e
simultaneamente dá
Resolvendo
Passo 3
O ponto
está dentro de
(checa-se por coordenadas baricêntricas ou desigualdades) e
.
Passo 4
Agora analisamos as três arestas do triângulo:
- Aresta de
a : aqui fixe e .
Parametrizando basta estudar.
Como, o único zero é (que é extremo na borda) e
- Aresta de
a : parametrizamos por com .
Isso leva a
Avaliando:
3) Aresta dea : aqui fixe e .
Definimos.
Como, que está no intervalo, e
Passo 5
Por fim, comparando todos os valores: interno temos
; nas bordas os menores foram
e
e os maiores até
.
Logo o mínimo absoluto é em
e o máximo absoluto é
em
.
Logo o mínimo absoluto é
Resposta
O valor mínimo absoluto é 0, alcançado em (0,0). O valor máximo absoluto é 17, alcançado em (-1, -2).