Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=x^2+2 x y+3 y^2
D é a região triangular fechada com vértices (-1,1),(2,1) e (-1,-2)

Passo 1

A questão pede para a gente achar os valores máximos e mínimos absolutos da função quadrática f(x,y)=x^2+2xy+3y^2 num triângulo fechado D com vértices (-1,1), (2,1) e (-1,-2). Como f é contínua e D é compacto, o extremo absoluto aparece ou em pontos críticos internos (onde nabla f=0) ou nas fronteiras (as três arestas do triângulo).

Passo 2

Vamos achar o ponto crítico interno calculando o gradiente. Temos
nabla f=l(2x+2y,;2x+6yr).
Resolvendo 2x+2y=0 e 2x+6y=0 simultaneamente dá
2x+2y=02x+6y=0Longrightarrow x=-y,;x=-3y;Rightarrow;y=0,;x=0

Passo 3

O ponto (0,0) está dentro de D (checa-se por coordenadas baricêntricas ou desigualdades) e
f(0,0)=0.

Passo 4

Agora analisamos as três arestas do triângulo:
  1. Aresta de (-1,1) a (2,1): aqui y=1 fixe e xin[-1,2].
    Parametrizando basta estudar g(x)=x^2+2x+3.
    Como g'(x)=2x+2, o único zero é x=-1 (que é extremo na borda) e
    g(-1)=2,;g(2)=11
  2. Aresta de (2,1) a (-1,-2): parametrizamos por x=2-3t,;y=1-3t com tin[0,1].
    Isso leva a h(t)=54t^2-48t+11, h'(t)=108t-48=0Rightarrow t=4/9in[0,1]
    Avaliando:
    h(0)=11,;h(1)=17,;h(4/9)=1/3
    3) Aresta de (-1,-2) a (-1,1): aqui x=-1 fixe e yin[-2,1].
    Definimos k(y)=1-2y+3y^2.
    Como k'(y)=-2+6y=0Rightarrow y=1/3, que está no intervalo, e
    k(-2)=17,;k(1)=2,;k(1/3)=2/3

Passo 5

Por fim, comparando todos os valores: interno temos 0; nas bordas os menores foram 1/3 e 2/3 e os maiores até 17.
Logo o mínimo absoluto é 0 em (0,0) e o máximo absoluto é 17 em (-1,-2).

Resposta

O valor mínimo absoluto é 0, alcançado em (0,0). O valor máximo absoluto é 17, alcançado em (-1, -2).

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