Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado.
, no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a reta tangente e o plano normal a uma curva no ponto específico onde $ t = 1 $. A curva é dada por $ \mathbf{r}(t) = e^{3t} \mathbf{i} + e^{-3t} \mathbf{j} + \sqrt{18} t \mathbf{k} $. Vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações de retas e planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da curva no ponto onde $ t = 1 $. Isso significa substituir $ t $ por 1 na função $ \mathbf{r}(t) $:
Então, o ponto de interesse é $ (e^{3}, e^{-3}, \sqrt{18}) $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é dada pelo vetor derivada da curva nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular a derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que é $ \mathbf{r}’(t) $:
Substituindo $ t = 1 $:
Esse vetor é a direção da reta tangente.
Passo 4
Com o ponto $ (e^{3}, e^{-3}, \sqrt{18}) $ e o vetor direção $ \mathbf{r}’(1) $, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Aqui, $ \lambda $ é o parâmetro da reta.
Passo 5
Agora, vamos determinar o plano normal. O plano normal à curva no ponto dado é aquele que é perpendicular ao vetor tangente $ \mathbf{r}’(1) $ e passa pelo ponto $ (e^{3}, e^{-3}, \sqrt{18}) $. A equação geral de um plano é:
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal (no caso, $ \mathbf{r}’(1) $) e $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto $ t = 1 $ é dada por:
E o plano normal à curva nesse ponto é: