Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
f(x, y)=2 x^2+y^2+2 x y+2 x+2 y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=2x2+y2+2xy+2x+2y. O objetivo é encontrar seus pontos críticos e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar as derivadas parciais (gradiente) para achar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f: a derivada em relação a x é fx=4x+2y+2 e em relação a y é fy=2y+2x+2.

Passo 3

Igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
4x+2y+2=02y+2x+2=0

Passo 4

Dividindo a primeira por 2 e a segunda por 2, temos o sistema
2x+y+1=0x+y+1=0

Passo 5

Subtraindo as equações: (2x+y+1)-(x+y+1)=0implies x=0

Passo 6

Substituindo em x+y+1=0 y=-1. Logo, o único ponto crítico é (0,-1).

Passo 7

Agora montamos a matriz Hessiana de f:
H=fxx&fxyfyx&fyy=4&22&2

Passo 8

Calculamos o determinante de H:
D=4cdot2-2cdot2=8-4=4>0

Passo 9

Como D>0 e fxx=4>0, concluímos que o ponto (0,-1) é um mínimo local.
Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,−1), que é mínimo local com valor f(0,−1)=−1. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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