Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
Passo 1
Temos a função f(x,y)=2x2+y2+2xy+2x+2y. O objetivo é encontrar seus pontos críticos e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar as derivadas parciais (gradiente) para achar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f: a derivada em relação a x é
e em relação a y é
.
Passo 3
Igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Passo 4
Dividindo a primeira por 2 e a segunda por 2, temos o sistema
Passo 5
Subtraindo as equações:
Passo 6
Substituindo em
dá
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 7
Agora montamos a matriz Hessiana de f:
Passo 8
Calculamos o determinante de H:
Passo 9
Como
e
, concluímos que o ponto
é um mínimo local.
Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.
Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (0,−1), que é mínimo local com valor f(0,−1)=−1. Não há máximos locais nem pontos de sela.