Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por sigma(t)=(t-sen(t), 1-cos (t)), t in [0,2 pi].
Determine o espaço percorrido pela partícula entre os intervalos de tempo t1 e t2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco (espaço percorrido) de uma partícula cuja posição é dada por sigma(t)=(t-sin t,;1-cos t) no intervalo [t1,t2]. Vamos usar derivada, norma e a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada sigma'(t):
sigma'(t)=l(ddt(t-sin t),;ddt(1-cos t)r)=l(1-cos t,;sin tr)

Passo 3

Agora achamos a norma de sigma'(t):
|sigma'(t)|=raiz(1-cos t)^2+(sin t)^2

Passo 4

Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
(1-cos t)^2+sin^2 t=1-2cos t+cos^2 t+sin^2 t=2-2cos t=2(1-cos t)

Passo 5

Como para tin[0,2pi] temos 1-cos t>=0,
|sigma'(t)|=raiz2(1-cos t)=2,l|sin(tfrac t2)r|=2sinl(tfrac t2r)

Passo 6

Finalmente, aplicamos a definição de comprimento de arco:
S=integralt1^t2|sigma'(t)|,dt=integralt1^t22sinl(tfrac t2r),dt

Passo 7

Para integrar, use a primitivação:
integral sinl(tfrac t2r)dt=-2cosl(tfrac t2r)+C
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S=2l[-2cosl(tfrac t2r)r]t1^t2=-4cosl(tfrac t22r)+4cosl(tfrac t12r)

Resposta

S=4l(cos(tfract12)-cos(tfract22)r).

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