Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=y raizx-y^2-x+6 y
D=(x, y): 0 <= x <= 9,0 <= y <= 5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de f(x,y)=y√x−y²−x+6y no retângulo D={(x,y):0≤x≤9,0≤y≤5}. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois analisar as fronteiras e vértices.

Passo 2

Para os pontos críticos no interior, calculamos as derivadas parciais: f_x=\frac{y}{2√x}−1 e f_y= √x−2y+6. Igualando f_x=0 obtemos y=2√x e igualando f_y=0 obtemos y=(√x+6)/2. De y=2√x e y=(√x+6)/2 segue √x=2, logo x=4 e y=4.
Calculamos f no ponto crítico: f(4,4)=4·√4−4²−4+6·4=8−16−4+24=12.

Passo 3

Analisamos cada aresta de D:
  • x=0: f(0,y)=−y²+6y em y∈[0,5], máximo em y=3 com f=9 e mínimo em y=0 com f=0.
  • x=9: f(9,y)=−y²+9y−9 em y∈[0,5], máximo em y=4.5 com f=11.25 e mínimo em y=0 com f=−9.
  • y=0: f(x,0)=−x em x∈[0,9], máximo em x=0 com f=0 e mínimo em x=9 com f=−9.
  • y=5: f(x,5)=5√x−x+5 em x∈[0,9], derivada nula em x=6.25 com f=11.25; nos extremos x=0 f=5 e x=9 f=11.

Passo 4

Com base nos valores do interior (12 em (4,4)), das arestas (11.25, 11, 9, 5, 0, −9) e dos vértices, concluímos que o maior valor é 12 e o menor é −9.

Resposta

O valor máximo absoluto é 12, obtido em (4,4). O valor mínimo absoluto é −9, obtido em (9,0).

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