Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G=F. F=3 y^2 i-3 x^2 j-(y^2+2 x) k.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial F = 3 y^2 i - 3 x^2 j - (y^2 + 2 x) k e precisamos fazer duas coisas:
  1. Verificar se a divergência de F é igual a zero.
  2. Encontrar todos os campos vetoriais G que satisfaçam rot G = F.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre divergência e rotacional de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k é dada por:
div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, temos:
Fx = 3 y^2, Fy = -3 x^2, Fz = -(y^2 + 2 x)
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Fxpartial x = partialpartial x (3 y^2) = 0
partial Fypartial y = partialpartial y (-3 x^2) = 0
partial Fzpartial z = partialpartial z (-(y^2 + 2 x)) = 0
Então, a divergência de F é:
div F = 0 + 0 + 0 = 0
Conferimos que div F = 0.

Passo 4

Agora, vamos encontrar todos os campos vetoriais G tais que rot G = F. Sabemos que se div F = 0, então existe pelo menos um campo G que satisfaz essa condição.
O rotacional de G = Gx i + Gy j + Gz k é dado por:
rot G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z ) i + ( partial Gxpartial z - partial Gzpartial x ) j + ( partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) k
Queremos que isso seja igual a F, então temos o sistema de equações:
partial Gzpartial y - partial Gypartial z = 3 y^2
partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = -3 x^2
partial Gypartial x - partial Gxpartial y = -(y^2 + 2 x)

Passo 5

Vamos assumir que Gx não depende de z e Gy não depende de z para simplificar. Assim, partial Gypartial z = 0 e partial Gxpartial z = 0. As equações ficam:
partial Gzpartial y = 3 y^2
- partial Gzpartial x = -3 x^2 Rightarrow partial Gzpartial x = 3 x^2
partial Gypartial x - partial Gxpartial y = -(y^2 + 2 x)

Passo 6

Vamos resolver para Gz primeiro:
Integrando partial Gzpartial y = 3 y^2 em relação a y:
Gz = y^3 + h(x)
Agora, usando partial Gzpartial x = 3 x^2:
partialpartial x(y^3 + h(x)) = h'(x) = 3 x^2 Rightarrow h(x) = x^3 + C
Então,
Gz = y^3 + x^3 + C
Podemos ignorar a constante C aqui, então:
Gz = x^3 + y^3

Passo 7

Agora, vamos para a terceira equação:
partial Gypartial x - partial Gxpartial y = -(y^2 + 2 x)
Vamos escolher Gx = 0 para simplificar (isso é uma escolha possível, pois a solução geral inclui todas as possíveis escolhas). Então a equação fica:
partial Gypartial x = -(y^2 + 2 x)
Integrando em relação a x:
Gy = - y^2 x - x^2 + k(y)
Onde k(y) é uma função que depende apenas de y. Para simplificar, podemos escolher k(y) = 0. Então:
Gy = - y^2 x - x^2

Passo 8

Agora, temos todas as componentes de G:
Gx = 0
Gy = - y^2 x - x^2
Gz = x^3 + y^3
Portanto, um campo vetorial G que satisfaz rot G = F é:
G = ( 0 ) i + ( - y^2 x - x^2 ) j + ( x^3 + y^3 ) k

Resposta

Um campo vetorial G que satisfaz rot G = F é dado por:
G = - (y^2 x + x^2) j + (x^3 + y^3) k

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