Verifique que
e determine todos os campos de vetores
, tais que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial
e precisamos fazer duas coisas:
- Verificar se a divergência de
é igual a zero. - Encontrar todos os campos vetoriais
que satisfaçam .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre divergência e rotacional de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência de
é:
Conferimos que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar todos os campos vetoriais
tais que
. Sabemos que se
, então existe pelo menos um campo
que satisfaz essa condição.
O rotacional de
é dado por:
Queremos que isso seja igual a
, então temos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos assumir que
não depende de
e
não depende de
para simplificar. Assim,
e
. As equações ficam:
Passo 6
Vamos resolver para
primeiro:
Integrando em relação a
:
Integrando
Agora, usando
:
Então,
Podemos ignorar a constante
aqui, então:
Passo 7
Agora, vamos para a terceira equação:
Vamos escolher
para simplificar (isso é uma escolha possível, pois a solução geral inclui todas as possíveis escolhas). Então a equação fica:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Para simplificar, podemos escolher
. Então:
Passo 8
Agora, temos todas as componentes de
:
Portanto, um campo vetorial
que satisfaz
é:
Resposta
Um campo vetorial
que satisfaz
é dado por: