Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=x+y, D é a região triangular fechada com vértices (2,0),(0,2) e (0,-2)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos a função
f(x,y)=x+y
e o domínio D é o triângulo fechado de vértices (2,0), (0,2) e (0,-2).
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis em conjunto compacto.
O que vamos precisar:
1) Calcular o gradiente para ver se há ponto crítico no interior.
2) Como a função é linear, sabemos que extremos acontecem na fronteira, mais precisamente nos vértices de D.
3) Avaliar f nesses vértices para achar máximo e mínimo.

Passo 2

Vamos olhar o interior de D.
  1. O gradiente de f é
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =(1,,1)
  1. Para ter ponto crítico, precisaríamos nabla f(x,y)=(0,0), mas aqui (1,1)neq(0,0).
    Conclusão: não há ponto crítico dentro do triângulo.

Passo 3

Como f(x,y)=x+y é linear, numa região poligonal convexa os valores extremos ficam nos vértices. Então basta avaliar f em cada vértice de D:
  • Em (2,0):
f(2,0)=2+0=2
  • Em (0,2):
f(0,2)=0+2=2
  • Em (0,-2):
f(0,-2)=0+(-2)=-2

Resposta

Máximo absoluto de f em D é 2, obtido nos pontos (2,0) e (0,2).
Mínimo absoluto de f em D é -2, obtido no ponto (0,-2).

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