Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
no conjunto
.
,
é a região triangular fechada com vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos a função
e o domínio
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis em conjunto compacto.
O que vamos precisar:
1) Calcular o gradiente para ver se há ponto crítico no interior.
2) Como a função é linear, sabemos que extremos acontecem na fronteira, mais precisamente nos vértices de
3) Avaliar
Passo 2
Vamos olhar o interior de
.
- O gradiente de
é
- Para ter ponto crítico, precisaríamos
, mas aqui .
Conclusão: não há ponto crítico dentro do triângulo.
Passo 3
Como
é linear, numa região poligonal convexa os valores extremos ficam nos vértices. Então basta avaliar
em cada vértice de
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
Máximo absoluto de
em
é
, obtido nos pontos
e
.
Mínimo absoluto de em
é
, obtido no ponto
.
Mínimo absoluto de