Questão 3: (3.0)
.
a) Mostre que
é independente do caminho (campo conservativo). Encontre a função potencial.
b) Calcule
.
a) Mostre que
b) Calcule
Passo 1
A questão pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo (i.e., a integral de linha independe do caminho), encontrar sua função potencial
e usar isso para calcular
. Vamos precisar testar a igualdade das derivadas parciais
e aplicar o teorema fundamental dos campos conservativos.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Para achar a função potencial
, usamos
. Integramos em relação a
:
Passo 4
Agora impomos
. Derivando em
:
logo
Passo 5
Para calcular a integral de linha entre
e
, basta avaliar a diferença de
:
e portanto
Resposta
66