Questão 3: (3.0) Se F(x, y)=(2 x+y^3) imath+(3 x y^2+4) jmath.
a) Mostre que integralC^square F cdot d r é independente do caminho (campo conservativo). Encontre a função potencial.
b) Calcule integral(0,1)^(2,3) F cdot d r.

Passo 1

A questão pede para mostrar que o campo vetorial vec F(x,y)=(2x+y^3),vecimath+(3xy^2+4),vecjmath é conservativo (i.e., a integral de linha independe do caminho), encontrar sua função potencial f(x,y) e usar isso para calcular integral(0,1)^(2,3)vec Fcdot dvec r. Vamos precisar testar a igualdade das derivadas parciais partial P/partial y=partial Q/partial x e aplicar o teorema fundamental dos campos conservativos.

Passo 2

Para verificar se vec F=(P,Q) é conservativo, calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=partialpartial y(2x+y^3)=3y^2,partial Qpartial x=partialpartial x(3xy^2+4)=3y^2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo num domínio simplesmente conectado.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y), usamos fx=P. Integramos em relação a x:
f(x,y)=integral(2x+y^3),dx=x^2+xy^3+C(y)

Passo 4

Agora impomos fy=Q. Derivando em y:
partial fpartial y=3xy^2+C'(y)=3xy^2+4,
logo C'(y)=4 e assim C(y)=4y. Podemos tomar f(x,y)=x^2+xy^3+4y (constante irrelevante descartada).

Passo 5

Para calcular a integral de linha entre (0,1) e (2,3), basta avaliar a diferença de f:
f(2,3)=2^2+2cdot3^3+4cdot3=4+54+12=70, f(0,1)=0+0+4=4,
e portanto
integral(0,1)^(2,3)vec Fcdot dvec r = f(2,3)-f(0,1)=70-4

Resposta

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