Resolva o PVI
l L d id t+R i=E y(0)=io
com E, R, L e io constantes.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial linear de primeira ordem
Ldidt + R,i = E
com a condição inicial i(0)=i0. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos precisar usar o método do fator integrante ou então a ideia de solução homogênea mais particular.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma canônica didt + p(t),i = q(t). Dividindo por L, obtemos:
didt + RL,i = EL
Identificamos p(t)=RL e q(t)=EL. O fator integrante é dado por
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^RLt

Passo 3

Multiplicamos a equação canônica por mu(t):
e^RLtdidt + RLe^RLti = ELe^RLt
O lado esquerdo é a derivada de i,e^RLt, logo:
ddtl(i,e^RLtr) = ELe^RLt
Integramos ambos os lados em relação a t:
i(t)e^RLt = integral ELe^RLtdt = ERe^RLt + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos i(t):
i(t) = ER + Ce^-RLt
Para determinar C, usamos a condição inicial i(0)=i0:
i0 = ER + C e^0 Rightarrow C = i0 - ER

Resposta

i(t) = ER +l(i0 - ERr)e^-RLt

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